Differentialgleichungen. Das Ebbinghaussche Modell

Question

ich habe folgende Aufgabe und leider absolut keine Ahnung wie ich die rechnen soll :/ Hoffe das mir jemand weiterhelfen kann. Wäre wirklich super :)

"Ein Student hat sich einen gewissen Wissenstoff eingeprägt. Mit der Zeit wird er einiges davon vergessen. p(t) sei der Anteil des Stoffes, den er t Monate nach dessen vollständiger Meisterung noch im Gedächtnis hat. Optimistischwerweise wird man annehmen dürfen, dass er einen gewissen Anteil b (0<b<1) nie vergisst. Ferner wird man den Ansatz wagen, dass zur Zeit t die Vergessenrate p(t) proportional zum Prozentsatz des noch zu vergessenden Stoffes, also zu p(t)-b ist.

Lösen sie die formulierte Differentialgleichung für p(t) unter der Annahme p(t) ungleich b.

Formulieren Sie die zugehörige Differentialglechung fürp(t) inkusive Afangswertbedingung."

Ich habe leider keine Ahnung wie ich diese Aufgabe angehen soll und verstehe auch nicht soo viel von Differentialgleichungen. Kann mir da jemand bitte weiterhelfen und mir einen Lösungsweg zeigen bzw. Tipps geben?

Vielen Dank schonmal :)

Answer 1

Hi,
die Dgl. lautet $$ p'(t) = \alpha \cdot \left( p(t) - b \right)  $$ und für \( p(0) \) gilt, \( p(0) = 100 \)

Die Dgl. kann man durch trennen der Variablen lösen und ergibt
$$ p(t) = b + A\cdot e^{\alpha t} $$ mit einer aus der Anfangsbedingng zu bestimmenden Konstante \( A \)
Aus \( p(0) = 0 \) folgt \( b + A = 100 \) also \( A = 100 - b \) Damit ist die Lösung
$$ p(t) = b + (100 - b)\cdot e^{\alpha t} $$

Für \( \alpha = -0.05 \) und \( b = 20 \) ergibt sich folgendes Bild.

Comments

schonmal vielen vielen Dank für diese Gute Erklärung. Allerdings habe ich noch ein paar Verständis Probleme  bei der Variablentrennung und der anschließenden Integration.

Könnte mir das jemand vielleicht nochmal etwas ausführlich erklären? Ich wäre wirklich sehr dankbar :)

Vielen Dank

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Hi,

die Dgl. lautet ja $$  p'(t) = \alpha \left( p(t) - b \right) $$ Die kann man umformen in

$$ \frac{dp}{p - b}  = \alpha dt $$ Integration auf beiden Seiten ergibt nach der Transformation und anschließender Rücktransformation von \( z = p - b \) $$ ln(p - b ) = \alpha \cdot t +C $$ mit einer Integrationskonstante \( C \)

daraus folgt $$ p - b = A  \cdot e^{\alpha \cdot t} $$ mit \( A = e^C \)

Daraus ergibt sich die von mir genannte Lösung.

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Ah okay verstehe, jetzt ist der "Groschen" bei mir gefallen. Vielen Dank nochmal für die tolle/ausführliche Erklärung! :)