Zeigen sie dass folgende Folge konvergiert und bestimmen sie die Konvergenz

Question

Aufgabe:

Zeigen sie dass folgende Folge konvergiert und bestimmen sie die Konvergenz

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

\( a_{1}=9, a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(a_{n}+\frac{9}{a_{n}}\right) \)

Meine Überlegung: Mit Sandwich Lemma oder durch Monotonie?

Answer 1

(1)  Stelle zunächst fest, dass \(a_n>0\) für alle \(n\in\N\) gilt.

(2)  Zeige, dass die Folge nach unten durch \(3\) beschränkt ist: Es ist \(a_1=9>3\), sowie$$a_{n+1}-3=\frac12\left(a_n+\frac9{a_n}\right)-3=\frac{(a_n-3)^2}{2a_n}\ge0.$$(3)  Zeige, dass die Folge monoton fallend ist:$$a_n-a_{n+1}=a_n-\frac12\left(a_n+\frac9{a_n}\right)=\frac{a_n^2-9}{2a_n}\ge0.$$(4)  Die Folge ist monoton fallend und nach unten beschränkt also konvergent.

(5)  Der Grenzwert \(a\) ist die positive Lösung der Gleichung \(a=\frac12\left(a+\frac9a\right)\), also \(a=3\).

Comments

Wie kann man erkennen dass die Folge nach unten durch 3 beschränkt ist?

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Das kann man sich folgendermaßen erschließen: Unter der Voraussetzung, dass die Folge konvergent ist, berechne den Grenzwert \(a=3\) gemäß Punkt (5). Sieht man sich einige Folgeglieder an, könnte man vermuten, dass die Folge monoton fallend sein könnte. In diesem Fall wäre \(3\) eine untere Schranke. Dass letzteres tatsächlich gilt, wird unter Punkt (2) gezeigt.