Zeige, dass die folgende Folge konvergiert

Question

Hallo, ich hab folgendes Problem.

Ich soll mit dem Epsilon-Kriterium zeigen, dass die folgende Folge
konvergiert.

$$d_n=\frac{n+(-1)^n}{2n}$$

Ich habe erst den Grenzwert berechnet und dafür $$\frac{1}{2}$$ rausbekommen.

Anschließend habe ich versucht $$|\frac{n+(-1)^n}{2n}-\frac{1}{2}|<\epsilon$$ aufzulösen, jedoch komme ich da nicht weiter:

$$|\frac{2(n+(-1)^n)-2n}{2n-2}|<\epsilon$$

$$|\frac{2n+2(-1)^n-2n}{2n-2}|<\epsilon$$

$$|\frac{(-1)^n}{n-1}|<\epsilon$$

Wenn ich nun den Logarithmus nehme, würde dies doch bei einer negativen Zahl nicht funktionieren also muss ich vorher ja irgendwo einen Fehler gemacht haben aber ich finde diesen nicht.

Answer 1

Hallo,

sei \(\varepsilon >0\) beliebig. Wähle \(N>\frac{1}{2\varepsilon}\), ein solches \(N\) findest du nach dem archimedischen Axiom, so gilt für beliebiges \(n\geq N\), dass:$$\left|\frac{n+(-1)^n}{2n}-\frac{1}{2}\right|=\left|\frac{n+(-1)^n}{2n}-\frac{n}{2n}\right|=\left|\frac{(-1)^n}{2n}\right|=\frac{1}{2n}<\frac{1}{2\cdot \frac{1}{2\varepsilon}}=\varepsilon.$$

Answer 2

Hallo

wenn du erst schreibst$ \frac{1}{2}+\frac{(-1)^n}{2n}$ wird deine Rechnung einfacher und übersichtlicher.Und du vermeidest die schlimmen Fehler die du beim Bruchrechnen gemacht hast!

am ende muss du zu jedem epsilon ein N angeben, so dass die Ungleichung stimmt!

Deine Rechnung ist aber grausig und falsch! Wenn man Brüche subtrahieren will, bringt man si auf den Hauptnenner und zieht NIE die Nenner ab!

Gruß lul

Comments

Ja gut, keine Ahnung was mich dort geritten hat aber jetzt sehe ich es auch! Danke dir!