Ich habe eine Aufgabe in Mathe gegeben über Stabilität von Gleichgewichtspunkte.
Ich habe sie bearbeitet aber ich bin wegen meiner lösungen etwas verunsichert.
Kann wer kontrollieren ob meine lösungen Sinn ergeben? Ich habe es mit der Verwendung der Jakobi matrix nicht ganz verstanden und denke das ich hier was falsch gemacht habe, aber ich weiß nicht was.
Aufgabe:
Zwei Populationen \( x, y \) mit \( 0 \leq x, y \leq 1 \) stehen in Konkurrenz um eine für beide lebenswichtige Ressource. Die zeitliche Veränderung der Populationen wird durch das folgende DGL-System beschrieben:
\( x' = x\left(1 - x - \frac{1}{2} y\right) \)
\( y' = y\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2} y - \frac{1}{3} x\right) \)
a) Bestimmen die vier Gleichgewichtspunkte dieses Systems.
Meine lösung zu a):
\( (0,0) \)
\( (0,1) \)
\( (1,0) \)
\( (\frac{3}{4}, \frac{1}{2}) \)
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b) Linearisieren Sie das System an den Gleichgewichtspunkten.
Meine Lösung zu b)
1. \( \frac{\partial x'}{\partial x} \):\(\frac{\partial}{\partial x} (x(1 - x - \frac{1}{2}y)) = 1 - 2x - \frac{1}{2}y \)
2. \( \frac{\partial x'}{\partial y} \):\(\frac{\partial}{\partial y} (x(1 - x - \frac{1}{2}y)) = -\frac{1}{2}x \)
3. \( \frac{\partial y'}{\partial x} \):\( \frac{\partial}{\partial x} (y(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}y - \frac{1}{3}x)) = -\frac{1}{3}y \)
4. \( \frac{\partial y'}{\partial y} \):\( \frac{\partial}{\partial y} (y(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}y - \frac{1}{3}x)) = \frac{1}{2} - y \)
Jakobi matrix
\( J = \begin{bmatrix} 1 - 2x - \frac{1}{2}y & -\frac{1}{2}x \\ -\frac{1}{3}y & \frac{1}{2} - y \end{bmatrix} \)
Für den Punkt (0,0):
\(J(0,0) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \)
Für den Punkt (0,1):
\( J(0,1) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix} \)
Für den Punkt (1,0):
\(J(1,0) = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix} \)
Für den Punkt (\( \frac{3}{4} \), \( \frac{1}{2} \)):
\( J(\frac{3}{4}, \frac{1}{2}) = \begin{bmatrix} -\frac{1}{2} & -\frac{3}{8} \\ -\frac{1}{6} & 0 \end{bmatrix} \)
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c) Welche Gleichgewichtspunkte sind stabil oder instabil?
Meine Lösung zu c)
Um die Stabilität der Gleichgewichtspunkte zu bestimmen, berechnen wir die Eigenwerte jeder Jacobi-Matrix, die wir in Aufgabe c) berechnet haben.
Für jeden Gleichgewichtspunkt führen wir die Eigenwertberechnung durch:
1. Gleichgewichtspunkt (0,0):
\( \lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = \frac{1}{2} \)
Gleichgewichtspunkt (0,0) stabil.
2. Gleichgewichtspunkt (0,1):
\( \lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = -\frac{1}{2} \)
Gleichgewichtspunkt (0,1) instabil.
3. Gleichgewichtspunkt (1,0):
\(\lambda_1 = -1, \quad \lambda_2 = \frac{1}{2} \)
Gleichgewichtspunkt (1,0) instabil.
4. Gleichgewichtspunkt (\( \frac{3}{4} \), \( \frac{1}{2} \)):
Gleichgewichtspunkt (\( \frac{3}{4} \), \( \frac{1}{2} \)) stabil.
