Hallo liebe Leute,
ich schreibe bald eine Klausur zur HöMa und hab leider noch keine Ahnung wie man die Gleichgewichtspunkte bei DGL bestimmt. Ich habe versucht mich an einer Lösung entlangzuhangeln, aber das hat auch nur mäßig geklappt. Die Aufgabe mit Musterlösung im Anhang. Wäre toll wenn wir jemand da weiterhelfen könnte.
Aufgabe \( 7- \) Gleichgewichtspunkte
\( 3+3=6 \) Punkte
Ea sei dieses System von Differentialgleichungen gegeben:
$$ \begin{array}{l} {x^{\prime}=2 x+a x y+y^{2}} \\ {y^{\prime}=x^{2}-y^{2}} \end{array} $$
a) Bestimmen Sie die Anzahl der Gleichgewichtspunkte in diesern System abhängig vom Parameter \( a \in \mathbb{R} \)
$$ \begin{array}{ll} {2 x+a x y+y^{2}} & {\stackrel{!}{=} 0 \quad 0} \\ {(x-y)(x+y)} & {\stackrel{!}{=} 0 \quad 0 \Rightarrow x=y \text { oder } x=-y} \end{array} $$
1. Fall: \( x=y \Rightarrow 2 x+a x^{2}+x^{2}=0 \Rightarrow x=0 \) oder \( x=\frac{-2}{1+a} \) falls \( a \neq-1 \)
2 Fall: \( x=-y \Rightarrow 2 x-a x^{2}+x^{2}=0 \Rightarrow x=0 \) oder \( x=\frac{-2}{1-a} \) falls \( a \neq 1 \)
Gleichgewichtspunkte:
$$ (0,0), \quad\left(\frac{-2}{1+a}, \frac{-2}{1+a}\right) \text { falls } a \neq-1, \quad\left(\frac{-2}{1-a}, \frac{2}{1-a}\right) \text { falls } a \neq 1 $$
Insgesamt:
Fir a \( \not=1: \) S Gleichgewichtspunkte
Für \( a=\pm 1 \) : 2 Gleichgewichtspunkte
b) Berechnen Sie die Gleichgewichtspunkte für \( a=-1 \) und untersuchen Sie deren Stabilität.
$$ \begin{array}{l} {x^{\prime}=2 x-x y+y^{2}} \\ {y^{\prime}=(x-y)(x+y)} \end{array} $$
Für \( a=-1 \) haben wir schon die Gleichgewichtspunkte \( (0,0),(-1,1) \) berechnet. Jacobi-
$$ \begin{array}{l} {\text { Matrix: }} \\ {\qquad J_{f}(x, y)=\left(\begin{array}{cc} {2-y} & {-x+2 y} \\ {2 x} & {-2 y} \end{array}\right)} \end{array} $$
Darnit untersuche Stabilitat:
$$ J_{f}(0,0)=\left(\begin{array}{ll} {2} & {0} \\ {0} & {0} \end{array}\right) $$
hat \( E W \&, \) O. Also ist \( (0,0) \) instabil, da ein EW positiven Realteil hat.
$$ J_{f}(-1,1)=\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {-2} & {-2} \end{array}\right) $$
hat \( E W \frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{15}}{2} . \) Also ist \( (-1,1) \) stabil, da alle \( E W \) negativen Realteil haben.
Nebenrechnung:
$$ \left|\begin{array}{cc} {1-\lambda} & {3} \\ {-2} & {-2-\lambda} \end{array}\right|=(1-\lambda)(-2-\lambda)+6=\lambda^{2}+\lambda+4 $$
\( \Rightarrow \lambda_{1 / 2}=\frac{-1+i \sqrt{1-4-4}}{2}=-\frac{1}{2} \pm i \frac{\sqrt{15}}{2} \)
Bislang ist für mich nur erkenntlich geworden, dass das DGL System gleich 0 am Anfang sein soll.
MfG
