A,B sind abhängig. ⇒ P(A) ∈/ {0,1}. Wahr oder Falsch?

Question

Aufgabe:

Es gilt für zwei Ereignisse A, B ⊆ Ω stets
A,B sind abhängig. ⇒ P(A) ∈/ {0,1}

Problem/Ansatz:

Wahr oder Falsch?

Answer 1

Aloha :)

Ich würde die Umkehrung zeigen:$$P(A)=0\implies P(A\cap B)=P(B|A)\cdot P(A)=0=P(A)\cdot P(B)$$$$P(A)=1\implies P(A\cap B)=P(B|A)\cdot P(A)=P(B|A)\stackrel{(\ast)}=P(B)=P(A)\cdot P(B)$$\((\ast)\) Da \(A\) mit Sicherheit eintritt, ist die bedingte Wahrscheinlichkeit \(P(B|A)\), dass dann auch \(B\) eintritt, einfach die Wahrscheinlichkeit, dass \(B\) unabhängig von \(A\) eintritt.

Wenn also \(P(A)=0\) oder \(P(A)=1\) ist, sind die beiden Ereignisse linear unabhängig.

Die Umkehrung ist ebenso richtig:

Sind die beiden Ereignisse linear abhängig, gilt \(P(A)\ne0\) und \(P(A)\ne1\).

Comments

Vielleicht sollte man das Argument mit * noch formal stützen: Weil \(a \sube A \cup B\) gilt:

$$1=P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=1+P(B)-P(A \cap B)$$

Also folgt

$$P(A \cap B)=P(B)=P(A)P(B)$$

Gruß Mathhilf