Beweise mit Kettenregel Gleichung mit homogener Funktion

Question

Eine Funktion \(f:\mathbb{R}^n (ohne Null) \rightarrow \mathbb{R}\) heisst homogen vom Grad \(\lambda \in \mathbb{R}\), falls die Gleichung

$$f(tx)=t^{\lambda}f(x)$$

für alle \(x \in \mathbb{R}(ohne Null)\) und für alle t>0 gilt.

Zeige: Ist \(f:\mathbb{R}^n (ohne Null) \rightarrow \mathbb{R}\) homogen vom Grad \(\lambda\in\mathbb{R} \) und differenzierbar, dann gilt

\(x\bigtriangledown f(x)=\lambda f(x)\) für alle \(x\in \mathbb{R}\) (ohne Null)

Answer 1

für eine homogene Funktion gilt: f(t*x)=t^λ*f(x) ; x∈ℝ^n;λ∈ℝ

Ableiten beider Seiten nach t liefert:

d/dt [ f(t*x]=∑_k=1ⁿ (δf(t*x)/δx_k)*x_k

d/dt [t^λ*f(x)]=λ*t^{λ-1}*f(x)

--->∑_k=1ⁿ (δf(t*x)/δx_k)*x_k=λ*t^{λ-1}*f(x)

t=1 liefert nun

∑_k=1ⁿ (δf(x)/δx_k)*x_k=λ*f(x)

x*grad f(x) = λ*f(x)

Comments

Kannst du mir

d/dt [ f(t*x]=∑_k=1ⁿ (δf(t*x)/δx_k)*x_k

erklären?

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Tut mir leid, ich hatte da einen Fehler drin :/, es muss lauten

d/dt [ f(t*x)]=∑_k=1ⁿ (df(t*x)/d(t*x_k))*x_k

Das kommt daher, wenn man  t*x=u; t*x_k=u_k setzt

Dann ist df/dt=(df/dt)*(du/du)=∑_k=1ⁿ(df/dt)*(du_k/du_k)=∑_k=1ⁿ(df/du_k)*(du_k/dt)=∑_k=1ⁿ(df/du_k)*(d(t*x_k)/dt)=∑_k=1ⁿ(df/du_k)*(x_k)=∑_k=1ⁿ(df/d(t*x_k)*(x_k)

Und jetzt wirdt für t=1 der Term zu x mal Gradient