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sei \(f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) gegeben durch \(f(x)=|x|=\sqrt{x_1^2+...+x_n^2}\)

Zeige,dass f im Ursprung nicht differenzierbar, aber dort alle einseitigen Richtungsableitungen besitzt, d.h. für jeden Vektor \(v\in \mathbb{R}^n\) mit ||v||=1 existiert der Limes

\(Dvf(0)=\lim \frac{f(tv)-f(0)}{t} \) mit l von oben gegen 0

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Das zweite ist einfach:

(f(t*v) - f(0) ) / t

=   (  |t*v| - 0)  / t

= |t| * |v|  /   t  und wenn t von oben gegen 0 geht,

ist |t| = t also  gilt

|t| * |v|  /   t  =  |v|   =  1

also ist auch der Grenzwert für t gegen 0 gleich 1.

Avatar von 289 k 🚀

Wieso zeige ich so, dass alle Richtungsableitungen im Ursprung existieren?

Wie muss ich den ersten Teil der Aufgabe angehen?

Wieso zeige ich so, dass alle Richtungsableitungen im Ursprung existieren?
weil der Grenzwert existiert.
bei a) habe ich keine Idee.

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