Wieso ist die Funktion im Ursprung diffbar aber nicht holomorph?

Question

Aufgabe:

gegeben sei die Funktion g von ℂ nach ℂ: mit \( z^{2} \) wenn z in den reellen Zahlen und z^3 wenn z nicht in den reellen Zahlen ist

z.z. ist, dass die Funktion in 0 komplex diffbar mit g'(0)=0 ist, aber nicht holomorph in einer Umgebung um den Ursprung)

Problem/Ansatz:

mit der Def. der komplexen Diffbarkeit

Comments

Reicht es zu zeigen, dass es lediglich im Ursprung diffbar ist und sonst nirgends und daraus folgt dass es nicht holomorph ist?

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Ja, das reicht. Dann ist es in keiner Umgebung des Nullpunkts holomorph

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Und wie zeige ich dass es nicht diffbar außerhalb des Ursprung ist?

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Hoppla, ich sehe gerade, dass ich Deinen Kommentar nicht richtig gelesen habe. g ist auf der reellen Achse ( außer 0) nicht diffbar. Bilde etwa für z0=x mit positivem x den Differenzenquotienten mit Richtung längs der imaginären Achse.

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Kann ich zeigen durch

lim h→0 \( \frac{f(0+h)-f(0)}{h} \)=lim h→0  \( \frac{0^2+2*0*h+h^2-0^2}{h} \)=0

dass in 0 die Funktion komplex diffbar ist, oder wie mache ich es mit z^3, weil 0 ist doch sowohl komplex als auch reell oder?

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Entscheidrnd ist, dass h beliebig sein muss.

Du kannst für den Grenzübergang nutzen, dass für|z|<1 on beiden Fällen gilt: |f(z)|<=|z|^2

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Ich steh auf dem Schlauch, also wo setze ich diese Abschätzung ein, bzw. zeige damit das es nur in der 0 komplex diffbar ist?

Answer 1

Hallo,

aufgrund der Definition von g gilt für \(|z|<1\) die Abschätzung \(|g(z)| \leq |z|^2\). Behauptung \(g'(0)=0\). Der Beweis dazu: Für \(|z|<1, z \neq 0\) gilt

$$|\frac{1}{z}(g(z)-g(0))-0|=|\frac{1}{z}(g(z)| \leq \frac{1}{|z|}|z|^2=|z| \to 0$$

In den Punkten \(x \in (0,1)\) ist g noch nicht einmal stetig, also auch nicht differenzierbar: Für \(h>0\) gilt

$$g(x+ih)=(x+ih)^3 \to x^3 \neq x^2=g(x) \text{  für }h \to 0$$

Comments

D.h. das erste beweist die komplexe Diffbarkeit im Ursprung und das zweite die nicht Stetigkeit im Bereich (0,1), also somit auch nicht komplex diffbar und somit auch nicht holomorph, weil es auf einer Umgebung um 0 nicht komplex diffbar ist?

Answer 2

Die komplexe Differenzierbarkeit in 0 wurde schon gezeigt.

Zur Nicht-Holomorphie kannst du den Identitätssatz für holomorphe Funktionen benutzen:

\( z = 0\) ist in \(\mathbb C\) Häufungspunkt von \(\mathbb C \setminus \mathbb R\) und \(\mathbb R \setminus \{0\}\).

Wenn \(g\) holomorph wäre, müsste nun laut Identitätssatz in einer Umgebung von \(z=0\) gelten: \(z^3 = z^2\), was offenbar falsch ist.

Comments

Ok, danke, leider hatten wir diesen noch nicht, geht es auch ohne diesen und wurde die nicht Holomorphie nicht auch schon gezeigt nicht stetig und somit nicht diffbar in (0,1) und deswegen nicht holomorph

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@haustier333
Na klar geht es so, wie du beschrieben hast.

Der Identitätssatz ist aber ein sehr hilfreiches Werkzeug, dass dir in der Funktionentheorie sicher noch begegnen wird - vor allem oft im Zusammenhang mit Fragen der Art "Gibt es eine holomorphe Funktion mit dieser oder jener Eigenschaften".

Insofern hast du jetzt schon einmal Bekanntschaft mit diesem Werkzeug gemacht.

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Ok danke dir

Answer 3

gelöscht weil unnötig