Punkt X aus n Punkten P1,…Pn mit deren Distanzen zu X berechnen

Question

bekannt seien n Punkte und deren Distanzen zu einem unbekannten Punkt x. Wie kann ich den Punkt x berechnen?

Ist dies ohne Lösung eines komplexen Gleichungssystemes möglich?

Comments

Was meinst du mit:
"Lösung eines komplexen Gleichungssystemes "?
komplexe Zahlen sind nicht zwingend nötig, könnten aber die Rechnung vereinfachen.

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Entschuldigung, das war misverständlich ausgedrückt. Generell interessiert es mich schon, wie man das Problem lösen kann. Wenn komplexe Zahlen notwendigt sind, ist das eben so. Ich wollte jedoch vielmehr darauf hinaus, ob es nicht möglich sei, diesen Punkt x durch z.B. eine gewichtete Summe o.ä. zu berechnen.

Answer 1

Betrachtest du das Ganze in der Ebene oder im Raum oder in einem mehrdimensionalen virtuellen Raum mit mehr als 3 Dimensionen.
Gehen wir mal in den 1 dimensionalen Raum. Also eine Gerade. Haben wir dort einen Punkt und den Abstand zu unserem Punkt x, kann sich x sowohl vor oder hinter unserem Punkt in dem Abstand befinden. Es gibt also nur 2 Möglichkeiten. Würden wir blind raten lägen wir zu 50% richtig. Kenne ich noch einen weiteren Punkt und den Abstand ist der Punkt schon zu 100% sicher.

Nun im Zweidimensionalen. Du hast eine Ebene und 2 Punkte und von dort deren Abstände zu einem Punkt X. Der Punkt x liegt jetzt dort, wo sich die Schnittpunkte zweier Kreise bilden. Dafür gibt es jetzt genau 2 Möglichkeiten. Ein dritter Punkt mit Abstand erlaubt uns den Punkt X genau zu errechnen.

Im Dreidimensionalen bilden die Kugelhüllen zweier Kugeln einen Schnittkreis. Meist wird hier die Schnittebene gebildet. Durch eine weitere Schnittebene erhalte ich hier zwischen den Schnittebenen eine Schnittgerade. Mit noch einem weiteren Punkt können wir den Punkt x eindeutig identifizieren.

Mit der Problematik beschäftigt sich unter anderem die analytische Geometrie. Allerdings nur für 2 und 3 dimensionale Räume. Aber was dort geht, kann man auch für endlich dimensionale Räume verallgemeinern.

Comments

Vielen dank für die Antwort. Soweit so verständlich. D.h. um meinen Punkt zu berechnen, brauche ich einfach nur den Schnittpunkt von 3 Kreisen berechnen (mehr Schnittpunkte gibt es nicht, d.h. die anderen Punkte sind gar nicht notwendig)?!

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Ja. Ein Punkt im 2 dimensionalen ist durch den Schnittpunkt 3er Kreise genau bestimmbar. D.h. so ganz stimmt das nicht. Bedingung ist hier die Kreismittelpunkte dürfen sich dabei nicht auf einer eindimensionalen Gerade befinden.
Also du bildest am besten die Schnittgerade zwischen dem 1. und 2. Kreis und dann die Schnittgerade zwischen 1. und 3. Kreis. Die Geraden sollen wenns gut geht nicht identisch sein und sich damit in genau einem Punkt schneiden. Das ist dann dein Punkt X.

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Die anderen Punkte werden nur Notwendig wenn sich deine drei auf einer Geraden befinden. Du brauchst also 3 Punkte die sich nicht auf einer Geraden befinden.