lösungen der komplexen zahlen berechnen

Question

Berechne alle Lösungen der Gleichung  2z⁵ + 3z⁴ + 2z³ + 2z² - 1 = 0     mit   z₁ = i ,  z₂ = -1

Danke für eure Antwort

Answer 1

Hi!

Du löst mit Polynomdivision:

(2z⁵ + 3z⁴ + 2z³ + 2z² - 1) :(z+1)=  2z⁴++z³+z²+z-1

Dann Polynomdivision mit Nullstelle i

 (2z⁴++z³+z²+z-1 ) : (z-i) =2z³+(1+2i)z²+(i-1)z-i

Dann Polynomdivision mit komplex konjugierter Nullstelle -i

(2z³+(1+2i)z²+(i-1)z-i):(z+i)=2z²+z-1

Das Ergebnis lösen wir mit pq-Formel

und erhalten die reellen Nullstellen bei 1/2 und -1

Comments

Man kann natürlich auch  (z-i) • (z+i) • (z+1) ausrechnen und dann eine Polynomdivision durch das Ergebnis durchführen:

(2z⁵ + 3z⁴ + 2z³ + 2z² - 1) / (z³ + z² + z + 1) = 2·z² + z - 1

.... wie oben