Stetigkeit mit Polarkoordinaten? Es sei \(F\):]0,∞[×]-π,π]→...

Question

Es sei \(F:]0,\infty[×]-π,π]→{ ℝ }^{ 2 } \setminus \left\{ (0,0) \right\},F(r,\phi)=(r\cos { (\phi ) }, r\sin { (\phi )}), \) die Polarkoordinatenabbildung.

1) Zeigen Sie, dass \(F\) stetig ist.

2) Die Abbildung \(F\) ist bijektiv. Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung nicht stetig ist.

Comments

Ich komme auch zu dieser Aufgabe nicht dran.könnte jemand helfen?wäre sehr nett,

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Ich habe das selbe Problem. Fällt niemandem etwas dazu ein? :( 

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Betrachte Bildunkte auf der negativen x-Achse. Bestimme ihre Urbilder. Ueberlege, was mit diesen Urbildern passiert, wenn man die Bildpunkte auf der negativen x-Achse vertikal leicht verschiebt.

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Könnt Ihr mir vielleicht weiterhelfen.

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Ich wäre auch über jede Hilfe bei der Aufgabe dankbar.

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ich stecke hier auch fest :/

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Wo genau? Es sind ja zwei Teilaufgaben. Was hast Du denn schon so?

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Ich denke Teil (a) ist ok. Bei (b) komme ich aber nicht weiter. Ich habe versucht eine Umkehrfunktion zu bilden mithilfe der Umrechnung von Polarkoordinate in Kartesische, doch ich verstehe nicht so ganz wie man dann die Unstetigkeit zeigt. Kann es sein, dass F^-1 nicht bijektiv ist?

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Wenn \(F\) umkehrbar sein soll, dann ist \(F\) bijektiv, also auch \(F^{-1}\).

Du hast doch schon einen Tipp bekommen. Schau Dir Bildpunkte auf der negativen x-Achse an.

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So viel hilft der mir aber nicht. Auf der negativen x-Achse bin ich ja, wenn rcos(phi)<0 ist, also für -Pi<phi<0.

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Auf der negativen x-Achse steht da, nicht in der linken Halbebene!

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Ich verstehe nicht so ganz wie ich die Punkte finden soll die genau auf der X-Achse liegen. Ich bin trotzdem für jede Hilfe dankbar, ich finde die Aufgabe ist sehr schwer. 

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Sind damit die Punkte gemeint, für die rcos(phi) und rsin(phi) 0 sind. Aber dass ist doch nach definition ausgeschlossen, oder nicht? Es gibt ja kein phi für dass sin und cos 0 sind und im Definitionsbereich von r liegt ja die 0 nicht mit drin.

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Gemeint sind Bildpunkte F(r,φ), die auf der negativen x-Achse liegen. Ihre x-Koordinate ist negativ und ihre y-Koordinate ist null. Gib φ an.

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Also suche ich dann Punkte an denen cos(phi) negativ ist und sin(phi)=0? 

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Ich weiß nicht wie man (a) löst. Könnte mir jemand das erklären? ich wäre sehr dankbar 

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Auch ich wäre super dankbar wenn einer die a erklären könnte.

Answer 1

Die Umkehrfunktion ist ja 

$$ F^{-1}:\mathbb{R}^2 \backslash \{(0,0)\} \rightarrow (0,\infty) \times (-\pi,\pi)  $$

$$ F^{-1}(x,y)=(\sqrt(x^2+y^2), arg(x+iy)) $$

Nun ist die erste Komponente ja stetig, wurde bestimmt irgendwo auch mal bewiesen.

Also bleibt zu zeigen, dass die zweite Komponente unstetig ist.

Dazu betrachten wir nun wie schon oben gesagt die negative reelle Achse betrachten.

Sei nun $$ x_0<0 $$ und $$(z_n)=|x_0|e^{i(\pi-\frac{1}{n})}, (w_n)= \overline{z_n}  $$

Für Stetigkeit müsste gelten $$ arg(z_n)\rightarrow arg(x_0) $$ und $$ arg(w_n)=arg(x_0) $$.

Es gilt aber: 

$$ arg(z_n)=\pi-\frac{1}{n} \rightarrow \pi$$ für $$n \rightarrow \infty$$

$$ arg(w_n)=-(\pi-\frac{1}{n}) \rightarrow -\pi$$ für $$n \rightarrow \infty$$

$$ \Rightarrow$$ Also ist $$F^{-1}$$ unstetig

Kann mir das jemand bestätigen?

Comments

Die Umkehrfunktion ist ja 

F−1:R2∖{(0,0)}→(0,∞)×(−π,π)

Wenn dem so waere, dann waere F^-1 sehr wohl stetig. Es gilt aber laut Aufgabenstellung:

F^-1 : ℝ² \ {(0,0)} → (0,∞) × (-π,π].