Stetigkeit ohne Polarkoordinaten

Question

Aufgabe:

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { falls }(x, y)=(0,0), \\ \frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { falls }(x, y) \neq(0,0) . \end{array}\right. \)
(a) (2 Punkte) Untersuchen Sie \( f \) auf Stetigkeit.

Problem/Ansatz:

Bisher habe ich diese Art von Aufgaben immer mit Polarkoordinaten gelöst, nun wurde uns aber mitgeteilt, das wir diese nicht in der Klausur benutzen dürfen, sondern Stetigkeit durch Abschätzungen zeigen müssen. Kann mir jemand an diesem Beispiel zeigen, wie das geht? Ich bin etwas aufgeschmissen :-(

Dankeschön!

Comments

Für solche Aufgaben ist es oft hilfreich, folgende Ungleichung im Hinterkopf zu haben: $$2xy \leq x^2+y^2 \quad(\star)$$ Diese Ungleichung folgt unmittelbar aus \((x-y)^2 \geq 0\).

Damit erhältst du: $$\left| \frac {x^2y}{x^2+y^2}\right|= \frac {|x|}2 \frac{|2xy|}{x^2+y^2} \stackrel{(\star)}{\leq} \frac {|x|}2 \stackrel{(x,y)\to (0,0)}{\longrightarrow}0$$

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Super, das ist sehr praktisch! Gilt diese Umformung dann auch nur für x und für y setze ich dann null ein und argumentiere damit, dass null kleiner gleich ist als \( \frac{|x|}{2} \) ?

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Die obige Abschätzung für \(\left| \frac {x^2y}{x^2+y^2}\right|\) gilt für alle \((x,y)\neq (0,0)\). Dort wird nirgends \(y\) gleich null gesetzt.

Du kannst ja mal ein paar konkrete Werte für \(x\) und \(y\) einsetzen und dich selbst davon überzeugen.

Wenn nun \((x,y)\rightarrow (0,0)\) geht, dann geht natürlich erst recht \(x\rightarrow 0\).

Wenn du aber ein mulmiges Gefühl hast, weil das \(y\) fehlt, kannst du es auch hineinzaubern:
\(|x| =\sqrt{x^2} \leq \sqrt{x^2 + y^2}\)

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Okay, vielen Dank!

Soll man in der Klausur dann eher auf Nummer sicher gehen oder sind beide Varianten gleich richtig? Also reicht auch die Version, in der nur |x| steht?

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Und würde beispielsweise diese Abschätzung so funktionieren:

\( |\frac{2 x y^{3}}{\underbrace{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}_{\text {Nenner }>0}}|=\frac{\left|2 x y^{3}\right|}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=\frac{\left|y^{2}\right|}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \frac{|2 x y|}{\left(x^{2}+y^{2}\right)} \leq \frac{|*|}{\leq} \frac{\left|y^{2}\right|}{\underbrace{\left(x^{2}+y^{2}\right)}_{≤1}} \leqslant\left|y^{2}\right| \stackrel{(x, y)->(0,0)}{\longrightarrow} 0 \)

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Nein. Die letzte Ungleichung ist falsch. Um einen Bruch nach oben abzuschätzen, kann man den Nenner nach   u n t e n  abschätzen.

Im übrigen, setze mal x=y in Deine Funktion ein.

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Das Ungleichheitszeichen gehört natürlich umgedreht, der Nenner ist ja ≥1. Da hab ich mich verschrieben. Würde die Abschätzung dann funktionieren?

Für x=y erhält man \( \frac{2x⁴}{x⁸} \) = \( \frac{2}{x⁴} \). Was bringt das?

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Der Nenner ist nicht \(\ge 1\) und beim Einsetzen von x=y kommt man auch auf was anderes.

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Kann mir dann jemand zeigen, wie die Abschätzung aus meinem Beispiel richtig geht?

Für die ursprüngliche Funktion hat man für x=y → \( \frac{1}{x²} \). Ich dachte mein Beispiel war gemeint.

Ich schreibe morgen die Klausur und verstehe diesen Aufgabentyp einfach nicht :-(

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Für die ursprüngliche Funktion hat man für x=y → \( \frac{1}{x²} \)

Nein, hat man nicht.

Es geht hier einfach ohne Abschätzung (das Nachweisen, dass \(f(x,y)\not\to 0\) für \((x,y)\to 0\), falls es darum geht (Du hast ja nur einen Teil der Aufgabe genannt)). Setze einfach x=y richtig ein.

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Ich habs jetzt nochmal neu probiert:

\( f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { falls }(x, y)=(0,0) \\ \frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { falls }(x, y) \neq(0,0) \end{array}\right. \)
\( \operatorname{Für}(x, y) \neq(0,0) \)
Als Zusammensetzung stetiger Funktionen ist f ebenfalls stetig.
An der Stelle \( (0,0) \) gilt wegen \( 2 x y \leq x^{2}+y^{2} \quad(*) \)
\( |f(x, y)|=\left|\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}\right|=\frac{\left|x^{2} y\right|}{x^{2}+y^{2}}=\frac{|x||2 x y|}{2(x^{2}+y^{2})}  \leq \frac{|x|}{2} \xrightarrow{(x, y) \rightarrow 0} 0 \)

Das Sternchen muss über das letzte Ungleichheitszeichen, das bekomme ich hier aber nicht hin, bitte dazu denken.

Im Fall für \( y=0 \) gilt
\( |f(x, y)|=\frac{0}{x^{2}}=0 \leq \frac{|x|}{2} \). Also ist \( f \) auch an der Stelle \( (0,0) \) stetig.

In der anderen Aufgabe soll man die partiellen Ableitungen (einer anderen Funktion) auf Stetigkeit untersuchen. Es gilt \( \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2 x y^{4}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \) und damit
\( \begin{array}{l}\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x, y)\right|=\left|\frac{2 x y^{4}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}\right|=\frac{2|x| y^{4}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}} \leq \frac{2|x| y^{4}\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}}=2|x|y^{4} \\ \xrightarrow{(x, y) \rightarrow(0,0)} 0 .\end{array} \)

Wo sind hier noch Fehler?

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Zum ersten Beispiel: Warum suchst Du nach einem weiteren Lösungsweg? Das war doch vor 3 Tagen schon geklärt? Fehler: Begründung für (*) fehlt, und (*) ist für 2xy, Du brauchst es aber für 2|xy| (d.h. fehlt weitere Begründung).

Auch im zweiten Beispiel fehlt die Begründung.

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Für die Übung und damit ich in der Klausur mit anderen Funktionen hoffentlich klar komme. Ich dachte die Abschätzung funktioniert so, da trancelocation es auch so gemacht hatte (ohne weitere Begründung). Über das zweite Beispiel mache ich mir mal Gedanken, wobei in der Musterlösung nicht wirklich mehr Begründung vorhanden war. Dankeschön.

Answer 1

Die Stetigkeit in \((x,y)\neq (0,0)\) solltest Du selbst hinkriegen.

In \((0,0)\): Es geht also um \((x,y)\to (0,0)\). Zeige, dass \(|f(x,y)|\to 0\) gilt, indem Du im Bruch \(x^2\) kürzt und dann nach oben abschätzt.

Bei Problemen lade Deine Rechnung hoch.

Comments

Für \( (x, y) \neq(0,0) \) :

Als Zusammensetzung stetiger Funktionen ist f ebenfalls stetig (Polynom).
\( \begin{array}{l} \text { Für }(x, y)=(0,0): \\ \left.f(x, y)|=| \frac{x^{2} \cdot y}{x^{2}\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)}|=| \frac{y}{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}|\leq| \frac{y\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)}{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}|=| y \right\rvert\, \xrightarrow{(x, y) \rightarrow(0,0)} 0 \end{array} \)

Ist die Aufgabe so korrekt gelöst?

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Ja, fast. Noch einige Ergänzungen:

Klarer ist es, wenn man sich erinnert "ein Bruch wird größer, wenn der Nenner kleiner wird" und dann den Nenner nach unten gegen 1 abschätzt.

Deine Abschätzung \(|y|\le |y\cdot (...)|\) geht so nicht. Korrekt ist \(|y|\le |y|\cdot (...)\).

Und die Umformung gilt nicht für x=0. Aber in dem Fall ist sowieso \(|f(x,y)|=0\le |y|\).

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Achso, also habe ich dann, wenn ich den Nenner gegen 1 abschätze, einfach schon nach dem zweiten Schritt |y|, dass ich dann gegen null laufen lassen kann?

Und würde das dann auch für x gelten? Oder muss ich dafür das ganze nochmal durchführen und diesmal am Anfang y aus dem Bruch kürzen?

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Genau, das kürzt die Abschätzung um einen Schritt ab. Man sollte dabei aber immer eine Begründung notieren, z.B. in der Form:

\(\frac{|y|}{1+\underbrace{\frac{y^2}{x^2}}_{\ge 0}}\le |y|\)

Diese Umformung gilt für alle \(x\neq 0\). Für \(x=0\) gilt aber (s.o., \(x=0\) einsetzen) auch \(|f(x,y)|\le |y|\). Da braucht es keine neue Umformung.

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a) Für \( (x, y) \neq(0,0) \) :
Als Zusammensetzung stetiger Funktionen ist \( f \) ebenfalls stetig.
Für \( (x, y)=(0,0) \)
\( \begin{array}{l} |f(x, y)|=\left|\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}\right|=\left|\frac{x^{2} y}{x^{2}\left(1+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right)}\right|=\left|\frac{y}{1+\frac{y^{2}}{x^{2}}}\right| \leqslant\left|\frac{y}{1}\right|=|y| \xrightarrow{(x, y) \rightarrow(0,0)} 0 \\ \text { für alle } x \neq 0 . \end{array} \)
Für \( x=0 \) gilt
\( |f(x, y)|= \left|\frac{0^{2} y}{0^{2}+y^{2}}\right|=0 \leqslant|y| . \)

Also ist \( f \) stetig auf ganz ℝ.

Ist das so nun korrekt? Kann ich das in der Klausur so machen?

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Wenn die Frage ist, ob Du dafür volle Punktzahl kriegst:

von mir nicht, weil die Begründung für die Abschätzung fehlt - und es sieht danach als hast Du innerhalb der Beträge abgeschätzt, das geht grundsätzlich nicht (weil man das Vorzeichen des Zeugs in den Beträgen nicht kennt).

Auch (Schönheitsfehler) solltest Du nicht schreiben "für (x,y)=(0,0)", weil ja in der nächsten Zeile (x,y) eine andere Bedeutung hat.

Sauber wäre "An der Stelle (0,0):"

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Puh, dann weiß ich echt nicht weiter. Keine Ahnung, wie man das alles formal richtig aufschreibt. Trotzdem Dankeschön.

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Wieso? Ich hab Dir doch hingeschrieben, wie's ordentlich geht. Hättest den Schritt nur abschreiben brauchen.

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Den Teil verstehe ich schon, aber ich weiß nicht wie ich sonst abschätzen soll, wenn man nicht innerhalb der Beträge abschätzen darf. Oder kann ich im Nenner den Betrag weglassen, weil der sowieso immer positiv ist?

Zu dem "Schönheitsfehler", soll ich dann einfach schreiben "Für y=0"? Ich dachte halt, man muss beides gleichzeitig gegen Null laufen lassen.

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Oder kann ich im Nenner den Betrag weglassen, weil der sowieso immer positiv ist?

Genau so. Erster Schritt "Beträge weglassen" (würde ich ohne Begründung akzeptieren), dann zweiter Schritt wie oben schon erklärt.

Und zur zweiten Frage wiederhole ich nochmal: "Sauber wäre "An der Stelle (0,0):""

Answer 2

Benutze, dass für alle (x,y) ohne den Nullpunkt gilt:

$$\frac{x^2}{x^2+y^2} \leq 1$$

Dann kannst Du die Stetigkeit von f im Nullpunkt so zeigen: Wenn \((x_n,y_n) \to (0,0)\), dann folgt:
$$|f(x_n,y_n)-f(0,0)|=\frac{x_n^2}{x_n^2+y_n^2}|y_n|\leq |y_n| \to 0 $$

Die Stetigkeit außerhalb des Nullpunkts folgt direkt aus den einschlägigen Regeln für Grenzwerte

Answer 3

Hi,

ich antworte bischen spät. Es geht aber auch viel leichter bzw. direkter. Wir betrachten den Term |f(x,y)|. Du weisst das y^2 immer nichtnegativ bzw. für y ≠ 0 echt positiv ist. D.h. im Nenner würdest du immer etwas positives dazuaddieren. Was passiert dann: Der Nenner wird grösser. Was heisst das: Der ganze Term wird kleiner. Also kannst du bei der abgeschätzung das y^2 im Nenner einfach weglassen. Übrigens ist x^2 + y^2 die 2-Norm des Vektors (x,y) im Quadrat. D.h. insbesondere der Ausdruck ist für alle x,y ≠ 0 echt positiv, also x^2 + y^2 > 0. Demnach gilt auch die Abschätzung |x^2 + y^2| = x^2 + y^2 > x^2 (wegen y^2 > 0). Es folgt damit:

|f(x,y)| = |x^2 y| / |x^2 + y^2|

= x^2 |y| / (x^2 + y^2)

< x^2 |y| / x^2 = |y| → 0 für (x,y) —> (0,0).

=> lim f(x,y) = 0 = f(0,0) für (x,y) —> (0,0)

=> f ist im Ursprung (0,0) stetig

Die Stetigkeit für (x,y) ≠ (0,0) sollte klar sein.

Comments

Das steht bereits in der obigen Antwort von mathhilf - und da ist die Abschätzung richtig. Bei Dir nicht, denn innerhalb der Beträge darf man nicht abschätzen.

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Wieso darf man inmerhalb der Beträge nicht abschätzen? Habe es jetzt mal unabhängig vom Betrag nochmal gemacht, aber ansonsten ändert es ja nichts daran.

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Probier doch aus: \(|-3|\le |-1|\), weil ja \(-3\le -1\)...

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Stimmt Du hast Recht. Habe es aber jetzt nochmal korrigiert.

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Das Problem besteht weiterhin und hast Du auch den Rest meines Kommentars bez. Deiner Antwort gelesen?

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Die Antwort von Mathhilf ist ja was anderes als meine Antwort. Er hat es ja mit einer indirekten Abschätzung gemacht, während ich es direkt gemacht habe.

Zu der anderen Sache:

Warum das falsch sein sollte, verstehe ich diesmal nicht.

Da x^2 + y^2 die 2-Norm von dem Vektor (x,y) im Quadrat ist, ist dieser Ausdruck immer echt positiv für x,y ≠ 0. Demnach gilt ja also |x^2 + y^2| = x^2 + y^2. Da y^2 auch immer positiv ist, gilt dann auch x^2 + y^2 > x^2. Also damit auch die Abschätzung.

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Ich hab nicht gesagt, dass die Abschätzung falsch ist. Aber die Begründung und der Zwischenschritt mit Auflösen den Beträgen und DANACH erst Abschätzen gehört zum Beweis dazu und nicht erst auf Nachfrage nachgereicht.

Und Du benutzt genau das gleiche wie mathhilf - wenn Du es richtig aufschreibst, also ohne in den Beträgen abzuschätzen.

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Ja das mag stimmen. Meine Absicht war es nicht es zu widerholen. Ich hatte selbst letztens diese Aufgabe noch gemacht und wollte einfach meinen Lösungsweg von da, hier noch dazuschreiben.

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Wie apfelmännchen schon sagt, wir freuen uns über neue Helfer, aber wiederholte Antworten sind nicht sinnvoll, weil den Frager das nur verwirrt.

Immerhin kannst Du ja nun Deinen Lösungsweg von letztens in Deinen Unterlagen korrigieren.

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Stimmt. Dankeschön