Stetigkeit in (0,0) mit Polarkoordinaten prüfen

Question

Aufgabe:

ich soll prüfen, ob die partielle Ableitung von f nach x in (0,0) stetig oder unstetig ist.

Meine Frage ist insbesondere, ob ich die Methode mit den Polarkoordinaten richtig angewendet habe, und auch richtig argumentiert habe.

Problem/Ansatz:

Comments

Du hast beim 2. Schritt im Nenner die 4er Potenzen bei sin und cos vergessen.

Um Stetigkeit zu prüfen, musst Du wissen, was der Wert der Ableitung im Nullpunkt ist.

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Danke dir. Aber mit der Polarkoordinaten-Methode kann ich doch die Stetigkeit immer problemlos prüfen, oder?

Answer 1

Hallo

da sich r rauskt7ürzt, ist der GW für r gegen 0 von φ abhängig, also existiert er nicht.

damit ist die Ableitung sicher nicht stetig, ob sie existiert muss man davor prüfen ,ot dem GE des Differenzenquotienten, wie ist die Funktion dann in (0,0) definiert?

Gruß lul

Comments

Also gilt grundsätzlich immer, dass wenn ein Grenzwert von φ abhängig ist, dass er dann nicht existiert, richtig?

Warum muss ich unbedingt noch prüfen, ob die Ableitung existiert?

Dieser Aufgabe ging der Aufgabenteil voran, zu prüfen, ob die Funktion f in (0,0) stetig ist. Das war ja die Aufgabe von gestern Abend, wo du mir erklärt hattest, dass sin + cos nie gleichzeitig gleich 0 sein können (wegen dem Winkel φ, von dem sie abhängig sind).

Also war die Antwort dazu ja, dass die Fkt in (0,0) nicht stetig ist, so wie ich es verstanden hatte.

Danach der Aufgabenteil ging um die partielle Differenzierbarkeit in (0,0), da kam ich zu dem Entschluss, dass die partielle Ableitung von f nach x in (0,0) = 0 ist, und nach y = 1, also f in (0,0) nicht partiell differenzierbar ist, da die Ableitung nach y ungeich 0 ist.

Also ich meine natürlich die h-Methode, mit limes h -> 0, bei den jeweiligen partiellen Ableitungen.

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Hallo

du sagst du hast die differenzierbarkeit mit der h Methode überprüft, wieso ist es nicht differenzierbar wenn die Ableitung ungleich 0 ist?

Wenn eine Funktion in einem Punkt nicht stetig ist muss man nach Differenzierbarkeit nicht überprüfen die Fkt ist stetig weil in Polarkoordinaten im Zähler r^5 im Nenner r^4 steht, also für r gegen 0 der Ausdruck 0 wird unabhängig von φ

dazu muss allerdings f(0,0)=0 definiert sein.

an die Aufgabe gestern erinnere ich mich nicht entweder hast  du mich falsch verstanden, oder ich habe einen Fehler gemacht. bitte zitier bei so was den alten post als link.

lul

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Ups, das warst nicht du, der mir gestern geholfen hat, sondern abakus. Entschuldigung.

Müssen beide Ableitungen nicht gleich 0 sein, damit es differenzierbar ist? Bei der h-Methode.

Gestern habe ich soweit ich es verstanden habe, vermittelt bekommen, dass die Funktion nicht stetig ist? Siehe hier:

https://www.mathelounge.de/944010/stetigkeit-in-0-0-mit-polarkoordinaten-prufen?show=944077#c944077

Jetzt bin ich verwirrt.

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Gestern habe ich soweit ich es verstanden habe, vermittelt bekommen, dass die Funktion nicht stetig ist?

Soweit du es verstanden hast.

Du hast es nämlich NICHT verstanden.

Die Funktion IST stetig in (0|0). Ich habe nur deine völlig unzureichende "Begründung" dieses Fakts kritisiert und dir an Gegenbeispielen gezeigt, dass man es SO nicht begründen kann.

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Aber was wäre denn dann die Begründung dafür, dass die funktion in (0,0) stetig wäre.... ich blick einfach nicht durch.

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Die Begründung ist, dass der Zähler gegen 0 geht und der Nenner nicht gleichzeitig gegen 0 geht. Also geht der Bruch bei jeder Annäherung an (0|0) gegen 0 und das stimmt damit mit dem separat vorgegebenen Wert f(0,0)=0 überein.

Woran du krachend gescheitert bist ist die Begründung dafür, dass der Nenner tatsächlich nicht 0 werden kann. Ich habe versucht, das auf dem Niveau der Klasse 10 zu erklären, und du hast es nicht verstanden.

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Aber wenn der Nenner auch gleichzeitig gegen 0 gehen würde. Dann würden Zähler und Nenner gegen 0 gehen, also doch auch der Bruch gegen 0, oder nicht?

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Aber wenn der Nenner auch gleichzeitig gegen 0 gehen würde. Dann würden Zähler und Nenner gegen 0 gehen, also doch auch der Bruch gegen 0, oder nicht?

Auf Youtube gibt es ein Video, bei dem nach Einsetzen der Polarkoordinaten im Zähler steht: r * cos²(φ) * sin(φ). Und dann wird gesagt, dass ja r gegen 0 geht, also der gesamte Ausdruck = 0 ist, und somit die Funktion in (0,0) stetig ist.

Und r * cos²(φ) * sin(φ) kann ich mir doch auch als nen Bruch mit ner 1 im Zähler vorstellen. Dann ist der Bruch für r gegen 0 doch auch = 0.

Und wenn im Nenner sowas stehen würde wie r^4 *  cos(φ) * sin(φ), dann würde es doch nichts daran ändern, dass der Zähler trotzdem gegen 0 geht und somit der gesamte Bruch, denn 0 durch irgendwas ist 0. Wo genau liegt denn bei dieser Denkart von mir der Fehler?

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Oder ist der Gedankengang dahinter der, dass, wenn der Zähler gegen 0 geht, der Nenner aber von Winkel φ abhängig ist, quasi egal für welches φ im Nenner, also egal von welchem Winkel aus, der Ausdruck gegen 0 geht, da der Zähler gegen 0 geht?

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Ich kann doch auch die Stetigkeit von Funktion g mit dem Sandwich-Satz zeigen, oder?

g (x,y)  = \( \frac{y^2}{x^4 + y^4} \) für (x,y) != 0, 0 für (x,y) = 0

| g (x,y) | = | \( \frac{y * y}{x^4 + y^4} \) | = |y| *  \( \frac{y }{x^4 + y^4} \) ≤ |y|,

da der Nenner immer ≥ 0, da etwas hoch 4 immer positiv ist.

Da |y| -> 0 für (x,y) -> (0,0), folgt | g(x,y) | -> 0 für (x,y) -> (0,0) und somit auch g(x,y) -> 0 für (x,y) -> (0,0).

z.B. wäre ja für (x,y) = (2,2) dann |2| * 2/32 = 4/32 <= 2. und je größer die Werte, desto kleiner der Bruch.

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Aber wenn der Nenner auch gleichzeitig gegen 0 gehen würde. Dann würden Zähler und Nenner gegen 0 gehen, also doch auch der Bruch gegen 0, oder nicht?

Das ist falsch. Betrachte die 3 Brüche:

$$\frac{x^2}{x}\qquad \frac{x}{x}\qquad \frac{x}{x^2}$$

und lasse jeweils x gegen 0 gehen. Bei allen 3 Brüchen gehen Zähler und Nenner gegen 0, aber der Bruch insgesamt liefert verschiedene Ergebnisse.

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Hallo

irgendwo geht bei dir vollständig schief. jetzt hast du plötzlich y^2 im Zähler vorher war es y^5 mit y^2 im Zähler ist  die Funktion unstetig. Am Einfasten siehst du das wenn du längs x=0 auf y=0 zuläufst y^2/y^4=1/y^2 ist sicher unstetig bei y=0

du argumentierst immer wieder mit Zähler 0 ohne auf den Nenner zu achten , ob der in der Nähe von 0 positiv oder negativ ist ist doch egal, erstmal ist eine Funktion mit 0 im Nenner nicht definiert, also muss f(0,0) einzeln definiert werden. dann kann man untersuchen ob der GW für x,y gegen 0 existiert und gleich dem definierten Funktionswert ist.

dein sandwichsath stimmt nicht, wenn man durch x^4+y^4<1 dividiert wird ein Bruch größer nicht kleiner  sieh die lieber (1/10,1/10) an als (2,2)

lul

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Wieso denn?? Z.b beim ersten  0 hoch 2 / 0 ist doch 0

@lul

Das mit y hoch 2 im zähler ist eine andere Funktion. Um ddn sandwich satz zu zeigen.

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dein 0^2/0 ist einfach Unsinn, sowas sollte man nicht schreiben.

der GW von x^2/x gegen 0 ist 0 weil für JEDES x≠0 gilt x^2/x=x

dagegen ist der Gw von x/x^2  oo debb für jedes x≠0 kann man x/x^2=1/x schreiben.

lul

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@lul:

"Am Einfachsten siehst du das wenn du längs x=0 auf y=0 zuläufst y2/y4=1/y2 ist sicher unstetig bei y=0"

Wie meinst du, bei y = 0? die Funktion ist doch definiert für (x,y) != 0.

Oder meinst du, auf der X-Achse? Also einmal f(x,0) und einmal f(0,y)?

f(0,y) = also \( \frac{y^2}{ y^4} \)  =  \( \frac{y^2}{y^4} \)  = \( \frac{1}{y^2} \)

So. Was genau gucke ich jetzt? Was genau heißt für y gegen 0? Dass sich y der null nähert, aber nie null wird, oder? Oder setze ich jetzt für y unterschiedliche werte ein und schaue, wohin der Bruch geht? Auf jeden fall ist er dann immer positiv. 1/etwas größeres wird immer kleiner, also geht der gesamte Bruch gegen 0, also stetig, zumindest für diesen ersten Fall. Oder?

f(x,0) =  \( \frac{0}{x^4 + x^4} \) = 0. Stetig für diesen Fall.

Auf der Winkelhalbierenden: y = x

f(x,x) =  \( \frac{x^2}{x^4 + x^4} \) =  \( \frac{x^2}{x^4 + x^4} \) =  \( \frac{x^2}{2x^4} \) =  \( \frac{1}{2x^2} \). Dieser dritte Fall also auch stetig, argumentativ wie im ersten Fall?

Wenn man mal eine Nullfolge einsetzt:

f(  \( \frac{1}{n} \), \( \frac{1}{n} \)) = \( \frac{1/n}{1/n^4 + 1/n^4}\) =  \( \frac{1/n}{2/n^4}\) = \( \frac{1}{n}\) * \( \frac{n^4}{2}\) =  \( \frac{n^4}{2n}\) =  \( \frac{n^3}{2}\).

Also ist der Grenzwert davon ∞, oder?

@lul:

"der GW von x^2/x gegen 0 ist 0 weil für JEDES x≠0 gilt x^2/x=x"

Wieso denn dann? für x = 5 wäre der GW doch dann 5 und nicht 0. Bin ich blöd? Wieso checke ich das nicht?

x^2/x = x. Für x gegen 0, aber eben nicht = 0, ist x^2 / x = 5^5 / 5 = 25/5 = 5 und nicht 0.

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Ich habe den Sandwich-Satz doch genau so angewendet, wie in diesem Video:

Oder anscheinend doch nicht... Je mehr ich mich mit Stetigkeit beschäftige, desto verwirrter werde ich.

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Hallo

erst mal f(x)=x ist stetig für alle x aber f(5)=5 unf f(0)=0

der Wert bei 5 hat wirklich nicht mit der Stetigkeit bei 0 zu tun, für f(x)=x^2/x muss man den Wert an der nicht definierten Stelle x=0 einzeln definieren. das kann man so tun, indem man f(0)=0 setzt dann ist wegen x^2/x=x für beliebig kleine Werte von x der Wert beliebig klein (setz etwa mal Probeweise inx^2/x  x=10^-20 oder noch kleiner Werte

Hätte ich f(0)=1 definiert, wäre die Funktion unstetig

jetzt f(x)=x/x^2 wieder nit f(0)=0 wenn du wieder x=10^-20 einsetzt  ist f(x)=10^10 also ziemlich groß je kleiner x desto größer f(x) also unstetig,

Können wir und ist mal darauf einigen, dass 1/x bei x=0 unstetig ist egal wie man f(0) definiert? und natürlich gilt dasselbe für 1/y^2 dass das positiv ist ändert nichts daran dass für y=1/100 1/y^2=10000 ist also sicher nicht nahe an 0

lul

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okay. Es geht also gar nicht darum, für x bzw. y eine 0 einzusetzen, um den Grenzwert zu bestimmen. Sondern es geht darum, zu schauen, wie die Achse für verschiedene Werte, wie z.b. y = 1/100 in den Nullpunkt hineinläuft (dann ist es stetig), oder eben nicht?

Aber wie würde man dann quasi die Stetigkeit im Punkt (1,1) überprüfen? Wo macht man das bei der Überprüfung fest? Wo kommt der Punkt dann vor?

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Aha. In einem Mathebuch steht: Wenn der Ausdruck vom Winkel unabhängig ist, existiert ein Grenzwert. Wenn der Wert noch gleich dem Funktionswert der Stelle ist, ist die Funktion stetig.

Das heißt z.B., dass eine Funktion unabhängig vom Winkel sein muss, und dann noch, um im Punkt (0,0) stetig zu sein, der Wert = 0 sein muss.

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Hallo

Stetigkeit  in einem Punkt (x0,f(x0) überprüft man mit der Folgenstetigkeit oder den ε, δ Kriterium, aber da du schon bei 2d Funktionen bist solltest du das gut kennen? Dass man Grenzwerte nicht mit "einsetzen" bestimmen kann, solltest du längst wissen,  "in den 0 Punkt laufen" ist nur für f(0)=0 spannend, wenn du andere Werte hast  eben entsprechend, und das mit dem mal 1/100 einsetzen  ist nur nützlich um die zu zeigen, dass etwas NICHT gegen 0 geht.

Im laufe deines Studiums wurde für ne menge von Funktionen die Stetigkeit gezeigt, deshalb muss man sie für Zusammensetzung von solchen Funktionen  nicht jedes mal neu zeigen, das gilt für die hier untersuchten Funktionen für alle Punkte , wo der Nenner nicht 0 ist das muss nicht immer der Nullpunkt sein im Nennerkann etwa auch stehen x^2-1 dann muss man die Stellen x=1 und x=-1 auf Stetigkeit untersuchen.

lul

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Aber es wäre doch viel besser, wenn ich die Polarkoordinaten Methode für Funktionen im R^2 richtig gut drauf hätte, weil diese Methode alle Richtungen abdeckt und die Aufgabe schnell löst.

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Hallo

Für Probleme die man mit der Polarkoordinatenmethode lösen kann,, solltest du die anwenden können, das geht nicht für alle 2d Funktionen sondern nur für geeignete rationale  Terme der Funktion,

Aber auch da muss man ja wissen wie man die Stetigkeit zeigt., deshalb verstehe ich nicht was das daran ändert ob du  r^2/r  oder r/r^2 hast wenn r gegen 0 geht  ist doch dasselbe wie x^2/x und x/x^2

lul

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Welche Möglichkeiten gibt es denn noch, um die Stetigkeit bei der Funktion zu zeigen?

Wenn ich sie auf der X-Achse, Y-Achse und Winkelhalbierenden zeige, ist es ja noch nicht von allen Richtungen stetig.

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Ich will dich nicht verärgern mit meinem vielen Gefrage, aber ist dann die Funktion stetig in (0,0)?

\( \frac{y^5}{x^4+y^4} \)

In einem Buch ist eine ähnliche FKT mit gleichem Nenner, und da wird so argumentiert, dass dann irgendwie der Nenner abgeleitet und gleich 0 gesetzt wird. Ich verstehe aber nicht, warum bzw. wieso.