Definitionsbereich und Wertebereich

Question

also bei der Kurvendiskussion steht am Anfang irgendwas mit dem Werte und Definitionsbereich, aber ich verstehe nicht, was damit gemeint ist , kann mir das jemand für dumme erklären?:D das wäre echt sehr nett LG

Answer 1

Nimm dir ein paar Minuten Zeit für dieses Video:

https://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=ElLWxlax4hg 

Bei Fragen kannst du dich gern nochmals melden.

Comments

Sehr hilfreich danke sehr:-) und wie ist das mit dem Wertebereich?

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Bitte sehr.

 wie ist das mit dem Wertebereich?

Das sind alle Werte, die als y -Wert auftreten können.

Bei y = f(x) = 2+  1/x

z. B. gilt W =  ℝ  \ 2

und D = ℝ \ 0.

 ~plot~2 + 1/x; x^2-7~plot~

Bei y = g(x) = x^2 - 7 gilt: 

D = ℝ und W = { x | x≥ -7} 

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W = { x | x ≥ 7}

Das ist offensichtlich falsch. Aber mal abgesehen davon: Häufig wird in Schemata zur Kurvendiskussion die Angabe des Wertebereichs bereits ganz zu Anfang gefordert. Das halte ich nicht für sinnvoll, da in vielen Fällen der Wertebereich einer Funktion nicht offensichtlich ist, sondern Ergebnis einer bereits erfolgten Kurvendiskussion.

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Danke. Es heisst jetzt -7.

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Wenn man - zum Beispiel durch eine Kurvendiskussion - den Graph einer Funktion hat, erhält man den Wertebereich anschaulich, indem man - in Gedanken - alle Punkte des Graphen parallel zur x-Achse auf die y-Achse verschiebt. Die Menge aller y-Werte, die man dort trifft, ist der Wertebereich der Funktion.

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Präzision zum Begriff Wertebereich. Ich hätte wohl Wertbereich und Bildbereich unterscheiden sollen. 

Wenn du den zu Beginn einer Kurvendiskussion schon angeben sollst, ist wahrscheinlich einfach gemeint, dass du W = ℝ hinschreibst. Und dann meine  Funktion y = f(x) = 2+  1/x oben so definierst:

f : ℝ \ {0} → ℝ, x ↦ 2 + 1/x . 
[Name der Funktion] : [Definitionsbereich] → [Wertebereich] , x ↦ 2 + 1/x . 

Lies:  f sei eine Funktion, die allen Elementen von ℝ \ {0} ein Element aus ℝ zuordnet nach folgender Rechenvorschrift :  x wird 2 + 1/x zugeordnet. 
Den Bereich der effektiv angenommenen Werte kannst du erst am Schluss angeben. Der so eingeschränkte Wertebereich heisst nämlich oft Bildbereich B.

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Wertebereich (Wertemenge) und Bildbereich (Bildmenge) werden wohl meist äquivalent benutzt.

Die " -bereiche" erscheinen mir "definitionsmäßig" etwas unklar.

Ich denke, die (?) Menge der "möglichen" Funktionswerte - die leider überhaupt nicht eindeutig angegeben werden kann :-) - nennt man wohl besser Zielmenge, manchmal auch Wertevorrat.

Aber ich sehe das genau wie Lu::

Wenn dein Lehrer den Wertebereich am Anfang der Kurvendiskussion haben will, versteht er darunter wohl eher eine Menge, in der alle Funktionswerte enthalten sind, bei euch also ℝ.

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Im Gegensatz zum Wertebereich W ist aber beim Definitionsbereich D einer Funktion zwingend darauf zu achten, dass D keine x-Werte enthält, die von f keinem y-Wert zugeordnet werden. Sonst ist f keine Funktion. (Vgl. Definition von Funktion),

D kannst du, wenn du f definierst, auch weiter einschränken als nötig (z.B. auf ein interessantes Intervall).

Den Wertebereich W (Bildbereich B) hingegen solltest du so gross machen, dass f keinem Element aus D etwas zuordnet, das gar nicht in W liegt.  Hat W "zu viele" Elemente, ist das für eine Funktion (mathematisch) nicht tragisch.

Im Wissensblock hier ein paar Beispiele, wo die Wertebereiche nicht übergross geschätzt werden und somit die effektiv angenommenen Werte beschreiben (also eher die Bildmenge).

https://www.matheretter.de/wiki/potenzfunktionen

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Wenn in einer Relation \( R \subset X \times Y \) für alle \( x \in X \) ein \( y \in Y \) existiert, sodass \( (x, y) \in R \) ist, so heißt diese Relation übrigens linkstotal.

Das ist das, was Lu im ersten Absatz beschreibt. Ist \( f \subset D \times W \) nicht linkstotal, dann ist \( f \) keine Funktion. Eine Funktion \( f \) muss also (notwendigerweise) auf ganz \( D \) definiert sein.