Zwei Wahrscheinlichkeitsmaße. Zeige, dass R(A):= αP(A)+(1−α)Q(A), A⊂Ω ebenfalls Wahrscheinlichkeitsmaß R : 2^Ω → ℝ ist.

Question

kann mir jemand die lösung zu der folgenden aufgabe sagen:

Es sei Ω ≠ ∅ eine diskrete Menge, P, Q : 2^Ω → ℝ seien zwei Wahrscheinlichkeitsmaße, und es sei α ∈ [0, 1]. Zeigen Sie, dass durch

 R(A) := αP(A) + (1 − α)Q(A),     A ⊂ Ω

ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß R : 2^Ω → ℝ definiert wird. Warum gilt dies fur  α ∉ [0, 1] nicht?

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 Es sei Ω ≠ ∅ eine diskrete Menge, P, Q : 2^Ω → ℝ seien zwei Wahrscheinlichkeitsmaße, und es sei α ∈ [0, 1]. Zeigen Sie, dass durch

 R(A) := αP(A) + (1 − α)Q(A),     A ⊂ Ω

ebenfalls ein Wahrscheinlichkeitsmaß R : 2^Ω → ℝ definiert wird. Warum gilt dies fur  α ∉ [0, 1] nicht?

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ich habe leider keine Ahnung wie ich diese Aufgabe löse :(

Ich weiß, dass die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes folgendermaßen lautet bzw. folgende Eigenschaften muss ein Wahrscheinlichkeitsmaß besitzen:

-  P(Ω) = 1

- Alle Ereignisse A₁, A₂, A₃, ... ⊂ Ω sind paarweise disjunkt .

Leider habe ich keine Ahnung wie ich mit diesem Wissen die Aufgabe nun zeige bzw. löse.

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Musst du nur zeigen, dass R(OMEGA ) = 1 ?

R(OMEGA) = alpha P(OMEGA) + (1 - alpha) * Q(OMEGA)

                                         | Nach Voraussetzung: P(OMEGA) = 1 und Q(OMEGA) = 1

R(OMEGA) = alpha *1  + (1 - alpha) *1 = alpha + 1 - alpha = 1.

q.e.d. (fertig?)

Vgl. die weitere Diskussion hier: https://www.mathelounge.de/345442/wahrscheinlichkeitsmasse-ebenfalls-wahrscheinlichkeitsmass

Answer 1

Edit nach Kommentar:

Sei  E die Menge der Elementarereignisse von Ω,  A ∈ E

du musst zwei Bedingungen überprüfen:

1) Es gilt  α • P(A) + (1-α) • Q(A) ≥ 0  für  α ∈ [0,1]

2)  ∑_A∈E  [ α • P(A) + (1-α) • Q(A) ]   = ∑_A∈E  [ α • P(A) ]  + ∑_A∈E  [ (1-α) • Q(A) ]

= α • ∑_A∈E  P(A) + (1-α) • ∑_A∈E  Q(A) = α • 1 + (1-α) • 1 = 1

(nach Voraussetzung, dass P,Q W-maße sind)

Gruß Wolfgang

Comments

Zu Zeigen ist: 1) Werte in [0,1], 2) Normiertheit R(Ω)=1, 3) Additivitaet R(A∪B)=R(A)+R(B) für A, B disjunkt. Das ist ein bisschen was anderes als Deine zwei Punkte. Deine Summe ueber alle Teilmengen ist auch etwas viel.

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Die Kritik ist berechtigt, danke für den Hinweis.

Man muss aber lediglich für alle Elementarereignisse E  P(E) ≥ 0  und ∑ P(E) = 1 zeigen. Hatte das aber nicht korrekt formuliert. Werde es in der Antwort korrigieren.

Answer 2

schon versucht mal die Eigenschaften eines W-Maßes nachzuprüfen? Sollte sich alles sehr leicht daraus herleiten, dass P und Q W-Maße sind.

Edit Für den zweiten Teil kannst du bspw. ein \(A \subset \Omega\) betrachten mit \(P(A) = 1 \) und \(Q(A) = 0\).

Gruß