Erwartungswert und Varianz bei 3n+1 gleichwahrscheinlichen Ausfällen und bei fairem Würfel

Question

a.) Sei X das Resultat einer zufälligen gleichverteilten Auswahl einer der Zahlen aus
{-n‚ . . . ‚ -1,0, 1, 2, . . . ‚ 2n,}. Bestimmen Sie den Erwartungsvwert und die Varianz
von X.

b.) Wir werfen einen fairen Würfel 100 mal. Dabei sei X die Summe aller geworfenen
Augenzahlen. Finden Sie mittels der Ungleichungen von Markov und Tschebyscheff
Schranken für die Wahrscheinlichkeit, dass X seinen Erwartungswert um mindes-
tens 50 übersteigt.

Vielen Dank, für die Hilfe!

Comments

Bitte in Zukunft 2 unabhängige Fragen als 2 Fragen eröffnen. Jetzt musst du einfach mal hoffen, dass jemand beide beantworten kann.

a) Der Mittelwert müsste wohl (-n + 2n)/2 = n/2 sein.
Die Varianz müsste man nun wohl mit der allgemeinen Formel einfach ausrechnen und vereinfachen.

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Hi, ich komme auf E(X) = ((3n+1)*n/2) / n = (3n+1)*/2.

Na, das ist sicher falsch!

Es ist E(X) = ((3n+1)*n/2) / (3n+1) = n*/2.

Answer 1

Hier nur meine Ideen auf die schnelle. Rechnungen sind aber ungeprüft. Ich komme auf den gleichen Erwartungswert wie Lu. Vielleicht kann jemand anderes noch die Varianz bestätigen.


Zufallszahl ist eine Zahl von a bis b

Dann ist der Erwartungswert (a + b)/2

Dann ist die Varianz (b - a)·(b - a + 1)·(b - a + 2)/(12·(a + b - 1))


Setzt man für a und b unsere Werte -n und 2n ein erhält man

E(X) = (a + b)/2 = (-n + 2n)/2 = n/2

V(X) = (3n)·(3n + 1)·(3n + 2)/(12·(3n - 1))

Comments

Auch folgende werte sollten durch Rechnung bestätigt werden.

Beim Würfel ist der Erwartungswert 3.5 und die Varianz 35/12.

Würfel ich 100 mal dann ist der Erwartungswert der Summe

100*3.5 = 350 und Die neue Varianz 100^2*35/12 = 3500/12

Damit gilt nach Tschebyscheff

P(X - u >= 50) = 5.607%

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Kannst Du mir erklären was Du in Tschebyscheff Gleichung eingesetzt hast? Ich komme immer auf andere Zahlen.. Bei mir sieht es wie folgt aus P(|X-350|>=51) < (3500/12)/ 51^2 =  0.11

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Die Frage ist hier ob du die Wahrscheinlichkeit für die Abweichung nach einer Seite oder nach zwei Seiten bestimmen sollst. 

Ich denke das geht hier um X - u >= 50 und nicht um |X - u| >= 50

Daher muss die Wahrscheinlichkeit dann noch halbiert werden. Würdest du mir da zustimmen?

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Hi,

es geht zunächst um Schranken, und zwar von den Werten, dessen Differenz mit 350 größer gleich 50 ist. Das sind [100,300] und [400,600]. 100 und 600 deswegen, weil die kleinste Summe, die man erreichen kann 100 und die größte 600 ist.

Die Antwort 0.11 ist daher richtig. Die Varianz ist (3500/12), die Standardabweichung aber sqrt(3500/12) und diese wird ja bei der Tschebyscheff Gleicung eingegeben. Das Quadrat bei der Teschebyscheff Gleichung aber hebt die Wurzel wieder auf. Daher kommt man dann auf 0.11 bzw. 11%.

Gruß

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Finden Sie mittels der Ungleichungen von Markov und Tschebyscheff Schranken für die Wahrscheinlichkeit, dass X seinen Erwartungswert um mindestens 50 übersteigt.

Also ich interpretiere das wie folgt: Es soll die Wahrscheinlichkeit gefunden werden das X den Erwartungswert von 350 um mind. 50 Übersteigt. D.h. 400 bis 600. Ich sehe da keine Begründung auch 100 bis 300 zu errechnen.