Bestimmen Sie den Erwartungswert von X (die Anzahl aller Kanten in C6 angibt,

Question

Aufgabe:

Die Ecken des Kreises \( C_{6} \) werden zufällig und gleichverteilt mit den Farben rot, grün und blau gefärbt, wobei die Färbungen der Ecken unabhängig voneinander sind. Sei \( X \) die Zufallsvariable, die die Anzahl aller Kanten von \( C_{6} \) angibt, deren beide Endpunkte dieselbe Farbe erhalten. Bestimmen Sie den Erwartungswert von \( X \).

Answer 1

Ich habe mal meinen Rechner arbeiten lassen und folgendes herausbekommen:

Anzahl Färbungen mit X=k gleichfarbigen Kanten:

X = k	0	1	2	3	4	5	6	∑
H(X = k)	66	180	270	120	90	0	3	729

Daraus ergibt sich E(X) = 2.

Leider habe ich keinen händischen Zugang gefunden.

Comments

Vielleicht so:

Picken wir uns mal die Kante ab heraus.
Nach Laplace ist die Wahrscheinlichkeit definiert als Anzahl günstiger Möglichkeiten durch Anzahl aller Möglichkeiten.

Alle Möglichkeiten sind (rr, rg, rb, gr, gg, gb, br, bg, bb) also 9

Anzahl günstiger Möglichkeiten sind (rr, gg, bb) also 3

Die Wahrscheinlichkeit das die Ecken die gleiche Farbe haben beträgt also 3/9 = 1/3

Da das für jede Kante gilt, weil stochastisch unabhängig und wir 6 Kanten haben gilt für den Erwartungswert

E(x) = n * p = 6 * 1/3 = 2

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Hi, wenn ich nur Deine Lösung hätte, und das richtige Ergebnis nicht kennen würde, hätte ich Zweifel, ob man das so machen kann. Der Grund für die Zweifel liegt darin, dass wir einen Kreis haben und die Gleichfarbigkeit der letzten Kante von der Färbung des letzten und des ersten Knotens abhängt.

Deine Rechnung ist mir völlig klar. Mir fehlt die Begründung für die Zulässigkeit. Vielleicht ist es hilfreich, den Kreis aufzumachen und so zu linearisieren.