Zeigen dass die Reihe konvergiert und Summe ermitteln

Question

Hallo ich habe schwierigkeiten bei dieser Aufgabe:

Es geht um eine Reihe bei der man zeigen soll ob sie konvergent ist und die Summe ermitteln soll.

$$ \sum _{ n\ge 2 }^{  }{ \frac { 1 }{ \left( n-1 \right) n\left( n+1 \right)  }  }  $$

Comments

Rechne nach, dass \(\dfrac2{(n-1)n(n+1)}=\dfrac1{n-1}-\dfrac2n+\dfrac1{n+1}\) für alle \(n>1\) gilt. Betrachte nun die \(N\)-ten Partialsummen$$\quad\sum_{n=2}^N\dfrac2{(n-1)n(n+1)}=\sum_{n=2}^N\left(\frac1{n-1}-\frac1n\right)-\sum_{n=2}^N\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)$$$$=\left(1-\frac1N\right)-\left(\frac12-\frac1{N+1}\right).$$Bilde nun den Grenzwert für \(N\to\infty\).