Nr. 1. Kurvendiskussion. f(x) = (x+2)(x-2)(x^2 - 1)

Question

Hallo ich komme bei der Aufgabe Nr.1 nicht weiter , kann mir da bitte jemand helfen?

Comments

Hallo ich komme bei der Aufgabe Nr.1 nicht weiter , kann mir da bitte jemand helfen?

Answer 1

Hi!

Die Funktion ist ja schon in ihre Linearfaktoren zerlegt, daher kann man die Nullstellen herausfinden, indem man die Klammern einzeln gleich 0 setzt.

Man bekommt für die Nullstellen:

x=±2

und

x=±1

(Satz des Nullprodukts)

Für die weiteren Schritte würd ich den Funktionsterm ausmultpilizieren:

(x+2)(x-2)(x²-1)

=(x²-4)(x²-1)

=x⁴-5x²+4

Es gibt nur gerade Exponenten, daher ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse

Ableitungen:

f '(x)=4x³-10x

f''(x)=12x²-10

f'''(x)=24x

Extrema und Wendepunkte solltest du mit den ABleitungen bestimmen können:

~plot~ x^4-5x^2+4;[[ -5 | 5 | -5 | 5 ]] ~plot~

Answer 2

Funktion & Ableitungen

f(x) = (x + 2)·(x - 2)·(x^2 - 1) = x^4 - 5·x^2 + 4

f'(x) = 4·x^3 - 10·x

f''(x) = 12·x^2 - 10

Symmetrie

Achsensymmetrie, da nur gerade Potenzen von x vorhanden sind.

Verhalten im Unendlichen

lim (x → - ∞) f(x) = ∞

lim (x → ∞) f(x) = ∞

y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = 4

Nullstellen f(x) = 0

(x + 2)·(x - 2)·(x^2 - 1) = 0

x = ± 1 ; x = ± 2

Extrempunkte f'(x) = 0

f'(x) = 4·x^3 - 10·x = 2·x·(2·x^2 - 5)

x = 0 ; x = ± √2.5 = ± 1.581

f(0) = 4 --> HP(0 | 4)

f(± 1.581) = - 2.25 --> TP(± 1.581 | - 2.25)

Wendepunkte f''(x) = 0

f''(x) = 12·x^2 - 10 = 0

x = ± √(5/6) = ± 0.913

f(± 0.913) = 19/36 = 0.528 --> WP(± 0.913 | 0.528)