Zeige, dass Zufallsvektor bivariat normalverteilt ist

Question

Halo zusammen,

ich brauche Hilfe bei der folgenden Aufgabe:

Angenommen X ist normalverteilt mit Erwartungswert μx und Varianz σ²x und Y ist normalverteilt mit Erwartungswert μY und Varianz σ²Y. Weiters seien X und Y unabhängig.

(a) Zeigen Sie, dass der Zufallsvektor (X, Y )' bivariat normalverteilt ist.
(b) Bestimmen Sie weiters den Korrelationskoeffizienten

Comments

EDIT: Es heisst offenbar bivariat. (ohne n) Habe das in der Überschrift dem Text angepasst.

https://de.wikipedia.org/wiki/Univariat

Answer 1

Glaub wir sitzen im selben Kurs ;)

Mein Lösungsweg wäre wie folgt:

Da X und Y als unabhängig gegeben sind, folgt daraus, dass die gemeinsame Dichtefunktion das Produkt der Randdichten ist.
Also f(x,y,)=f(x)*f(y)=1/(σ_x*✓2π)*exp(-1/2((x-μ_x)/σ_x)^2 * 1/(σ_y*√2π)*exp(-1/2((y-μ_y)/σ_y)^2 = 1/(2πσ_xσ_y)*exp(-1/2[((x-μ_x)/σ_x)^2+((y-μ_y)/σ_y)^2]

Da aus Cov(X,Y)=0 auch ρ=0 folgt, stellt das Ergebnis meines Erachtens den Spezialfall der allgemeinen Form der bivariaten Normalverteilung dar., womit beide Fragestellungen beantwortet wären.

Comments

Ich glaub, ich sitze auch im gleichen Kurs ;)

Ja ich hab das ganz ähnlich wie du, allerdings weißt du, ob wir da auch irgendwie den Spezialfall näher bestimmen müssen?

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ganz ähnlich aber doch nicht gleich. :D
bei der letzten Zeile:
1/(2πσ_xσ_y)*exp(-1/2[((x-μ_x)/σ_x)²+((y-μ_y)/σ_y)²]
sollt das nicht eher 1/(2πσ_xσ_y)*exp(-1/2((x-μ_x)/σ_x)²+1/2((y-μ_y)/σ_y)^{2 heißen? da hast du irgendwo eine 2 vergessen.}

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Ich hätte das -1/2 herausgehoben, ist in einem Forum nicht immer schön ersichtlich, beziehungsweise kann es auch leicht sein, dass ich es einfach falsch abgetippt hab.

Was man außer, dass man (X,Y) verteilt nach N (0,1/σ^2 (?)) explizit anschreibt noch bestimmen könnte, wüsste ich nicht.