Wie berechnet man die Varianz des Gewinns?

Question

In der vergangenen Woche hat Landwirt Meier Weizen geerntet und verkauft.

Die Mengen und Preise waren wie folgt:

Wochentag	Montag	Dienstag	Mittwoch	Donnerstag
Produktionsmenge x	5	5	5	5
Preis p pro Tonne Weizen	150	170	130	180

Berechnen Sie das arithmetische Mittel und die Varinaz des Gewinns.

Die Gewinnfunktion sei: pi(x)= p*x-0,3x

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Meine Berechnung:

aritmetisches Mittel: 1/4*(150+170+130+180)

= 157,5

aritmetisches Mittel des Gewinns:

157,5*5-0,3*5= 786

Varianz: ((150-157,5)^2+(170-157,5)^2+(130-157,5)^2+(180-157,5)^2) /4

= 368,75

Varianz des Gewinns:
= x^2 *Varianz
= 5^2* 368,75
= 25* 368,75
= 9.218,75
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Dazu zwei Fragen:
1. Ist alles richtig gerechnet?
2. Ich hatte mir in der Schule den letzten Abschnitt (Berechnung der Varianz des Gewinns) abgeschrieben, verstehe jedoch nicht wieso die Varianz einfach mal x^2 gerechnet wird, ist dies falsch, oder gibt es dafür eine Erklärung?

Answer 1

das arithmetische Mittel =157,5  und die Varianz = 786  von p (!)  sind richtig berechnet.

Da die Menge x konstant ist, gilt für den Tagesgewinn  (ich bezeichne ihn mit G statt p_i )

G(p) = p • x - 0,3 • x = 5p - 1,5

Das ist eine lineare Funktion    [ Var(aX+b) = a² • Var(X) ]

 →  Var(G) = 5² • Var(p) = 25 •  368,75 =  9668,75

Gruß Wolfgang