Wie viel Papier ist auf einer Rolle Rotationspapier mit einem zylindrischen Kern aufgewickelt?

Question

Schönen Abend,

ich habe eine Textaufgabe zum Thema Arithmetische Folgen und Reihen, die ich nicht lösen kann. Wäre toll wenn mir jemand helfen könnte :)

Eine Rolle Rotationspapier hat einen zylindrischen Kern von 20cm Durchmesser und einen äußeren Durchmesser von 120cm. Wie viel Papier ist aufgewickelt, wenn man annimmt, dass 10 aufeinandergelegte Blatt Papier eine Dicke von 1mm haben?

Answer 1

Die Rolle wird doch mit jeder Runde Papier dicker. Du musst einfach über alle Lagen Paper summieren bis die Rolle die geforderten 120cm hast.

Answer 2

Hier zunächst eine Skizze

Dicke Papier
d = 1 mm / 10 = 0.1 mm
Rolle
innen 200 mm
Außen 1200 mm

Ich wandele jetzt schon alles in 1/10 mm um

in 1/10 mm
Papier
d = 1
Rolle
innen 2000
Außen 12000

Anzahl Lagen
( 12000 - 2000 ) : 2 = 5000

1.Umfang : π * ( 2000 + 2 * 1 )
2.Umfang : π * ( 2000 + 2 * 2 )
....
5000.Umfang : π * ( 2000 + 2 * 5000 )

Die Reihe ist
π * ( 2000 + 2 * 1 )  + π * ( 2000 + 2 * 2 )  ... π * ( 2000 + 2 * 5000 )
π * [ ( 2000 + 2 * 1 )  + ( 2000 + 2 * 2 )  ...  ( 2000 + 2 * 5000 )  ]
π * [ 2000 * 5000  + (  2 * 1  + 2 * 2   ...  + 2 * 5000  ) ]
π * [ 10^7  + 2 * [  1  + 2   ... +  5000  ] ]
Für   [  1  + 2   ... +  5000  ]  die Gauß´sche Summenformel
( 1 + 5000 ) / 2 * 5000
12.5 * 10^6

Insgesamt
π * [ 10^7  + 2 * 12.5 * 10^6 ]
π * [ 3.5 * 10^7 ]
In mm
π * [ 3.5 * 10^6 ]
in cm
π * [ 3.5 * 10^5 ]
im m
π * [ 3.5 * 10^3 ]
in km
11 km

Alle Angaben ohne Gewähr.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen.

Answer 3

Man kann die Seitenfläche des aufgerollten Papiers mit der Seitenfläche des liegenden ausgerollten Papiers gleichsetzen:

pi·((120/2)^2 - (20/2)^2) = x·(0.1/10)

Nach x auflösen

x = 1099557.428 cm = 10.996 km

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