Urne Kugeln Stochastik Aufgabe. Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair? usw.

Question

Ich würde mich über Hilfe freuen

Es ist sehr e Hilfe gesucht



Eine Urne enthält eine schwarze und vier rote Kugeln. Es werden nacheinander 10 Kugeln gezogen, owbei nach jedem Zug die Kugel wieder in die Urne zurückgelegt wird.
a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse:
A.,,Genau zwei Kugeln sind schwarz",
P(A)=(10 über 2) * (1/5)²*(4/5)⁸
B:,,Nur die erste Kugel ist schwarz"
kein Ansatz
C:,,Genau vier Kugeln sind schwarz",
P(C)=(10 über 4)*(1/5)⁴*(4/5)⁶
D:,,Mindestens zwei Kugeln sind schwarz",
P(D)=1-P(X<=1)
E:,,Höchstens zwei Kugeln sind schwarz."
P(E)=(10 über k)*(1/5)^k*(4/5)^n-k
k=0 1 2

c)
Wie viele Kugeln muss man aus dieser Urne mit Zurücklegen mindestens ziehen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von wenigstens 95% erwartet werden kann, dass sich unter den gezogenen Kugeln mindestens eine schwarze befindet?

1-4/5 ^n>= 0,95

d)
Es wird folgendes Spiel angeboten: Der Spieler erhält 4€ ausbezahlt, wenn 9 der 10 gezogenen Kugeln rot sind, und 8 € für 10 rote Kugeln.
Bei welchem Einsatz ist das Spiel fair?

Comments

Die Aufgabe hat sich erledigt ausser d)

Was ist hier der Ansatz?

Answer 1

a)

P(A) ist richtig

P(B) = 1/5 • (4/5)⁹

P(C) ist richtig

P(D)  Ansatz richtig

P(E) = \( \begin{pmatrix} 10 \\ 0\end{pmatrix}\) • (1/5)⁰ • (4/5)¹⁰ +  \( \begin{pmatrix} 10 \\ 1\end{pmatrix}\) • (1/5)¹ • (4/5)⁹ +  \( \begin{pmatrix} 10 \\ 2\end{pmatrix}\) • (1/5)² • (4/5)⁸ 

war  wohl richtig gemeint

c) 

Ansatz richtig

d)

p₁₀ = \( \begin{pmatrix} 10 \\ 10\end{pmatrix}\) • (1/5)⁰ • (4/5)¹⁰

p₉  = \( \begin{pmatrix} 10 \\ 9\end{pmatrix}\) • (1/5)¹ • (4/5)⁹

  e = Einsatz

p₁₀ • 8∈ + p₉ • 4€ - (1 - p₁₀ - p₉) • e = 0   →  e

Gruß Wolfgang

 

Comments

Vielen Vieleb Dank für die Antwort. Ich erhslt für d)

0,1074*8+0,2684*4-(1-0,1074-0,2684) *e =0

0,8592+ 1, 0736-0,6242e=0

e=3,1

Die Zahlen stimmen.

Stimmen meine Umformungen alle?

Danke nlchmam !!

---

Das geht auch einfacher: Damit das Spiel fair ist, muss der Einsatz ebenso hoch sein wie die durchschnittliche Auszahlung!

---

p₁₀ = 0,1074  ,  p₉ = 0,2684

---

Eine Frage habe nur noch:

Es gilt ja:

p10*8€*p9*4€-(1-p10-p9)*e=0

Wie kommt man denn auf diesen Teil

-(1-p10-p9)*e

Und wieso stellt man das denn gleich 0?

---

Asoo ja genau vielen dank

Vielleicht kannst du kurz auf die zweite Frage eingehen

?

---

Hat sich alles geklärt.

Nur mir ist unklar wie du auf

-(1-p10-p9)*e=0 kommst

---

Sorry, hatte bei p₁₀ und p₉ rot und schwarz verwechselt. Habe es im letzten Kommentar korrigiert.

> Wie kommt man denn auf diesen Teil

-(1-p10-p9)*e    das ist die Wahrscheinlichkeit für Einsatzverlust • Einsatz

Das Spiel ist fair, wenn dieser Erwartungswert für den Gewinn = 0 ist

---

Vielen dank und wie kommt man auf

-(1-p10-p9)?

---

das ist die Wahrscheinlichkeit für Einsatzverlust • Einsatz 

Diesen Wert muss man von der erwarteten Auszahlung abziehen, dann hat man den erwarteten Gewinn (pro Spiel). Wenn dieser ±0 ergibt, ist das Spiel für beide Seiten fair.

---

Der Einsatz wird in jedem Fall bezahlt, nicht nur, wenn keine Auszahlung erfolgt.

---

Das kann man so sehen.

Dann gilt für 'fair'    p10*8€ + p9*4€ - e = 0

So klar ist der Begriff "Auszahlung" im Gegensatz zu "Gewinnauszahlung"  nicht. 

Beim Roulette liegt der Einsatz e zum Beispiel auf dem Spielplan auf rot. Er gehört niemandem, so lange die Kugel rollt. Bei Gewinn zahlt der Croupier e aus. Bei Verlust zieht er e ein.

---

Was gilt jetzt für die Aufgabe p10*8€+p9*4=0????

---

p₁₀ • 8€ + p₉ • 4€  - e = 0  →  e  = p₁₀ • 8€ + p₉ • 4€  

ist wohl die üblichere Interpretation