flächenmaßzahl zwischen graphen und seiner schiefen asymptote berechnen

Question

A(b) ist die Flächenmaßzahl der Fläche, die von Gf, der x-Achse für x≥3, der schiefen Asymptote a(x) und der Geraden x=b mit b>4 eingeschlossen wird. Berechnen Sie die Maßzahl dieser Fläche.

f(x)=(-x³+6x²-9x)/(2*(x-1)²)

Also ich habe schon die Lösung dazu und auch den Rechenweg.

Und zwar wird bei der Lösung das Integral  f(x)-a(x) von b (obere Integrationsgrenze) und 3 (untere Integrationsgrenze) gebildet. Danach muss noch das Dreieck oberhalb der x-Achse abgezogen werden.

Das ist mir soweit klar. Aber a(x) hat doch bei x=4 eine Nullstelle. Wieso darf ich dann trotzdem von 3 bis b integrieren?

Ich könnte ja das Integral oben ja auch auseinanderziehen. Und zwar das Integral von f(x) von x=3 bis x=b minus  das Integral von a(x) von x=3 bis x=b. Und bei diesem Integral von a(x) müsste ich doch dann zwei Teilintegrale bilden, nämlich von x=3 bis x=4 und dann von x=4 bis x=b (klar könnte man das mit zwei Dreiecken berechnen, aber jetzt nur mal vom Verständnis her).

Wieso muss das dann bei der Differenzfunktion nicht berücksichtigt werden?

Answer 1

Wenn es um die Fläche zzwischen zwei Graphen geht, dann bildest du die Differenzfunktion. Und diese Differenzfunktion dürfte keine Nullstelle (ungerade vielfachheit) haben. Die einzelnen Funktionen dürfen Nullstellen haben.

Ich hätte das so berechnet:

A(b) = ∫(0 - (- x^3 + 6·x^2 - 9·x)/(2·(x - 1)^2), x, 3, 4) + ∫((2 - x/2) - (- x^3 + 6·x^2 - 9·x)/(2·(x - 1)^2), x, 4, b)

= 3/4 - 2/(b - 1)

Comments

Kommentar zurückgezogen.

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Bei einer gebrochenrationalen Funktion, wo der Zählergrad um eins größer ist als der Nennergrad, kann es bei der Differenzfunktion keine Nullstelle geben, weil letztlich nur der Rest der Polynomdivision übrig bleibt. Stimmt das?

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Ich denke nicht, dass es so allgemeingültig ist.

Der Restterm der Polynomdivision kann natürlich auch Vorzeichenwechsel und damit Nullstellen besitzen. Dazu muss aber weiterhin die Unbekannte x im Zähler vorkommen.

Answer 2

Hallo Simon,

> Wieso darf ich dann trotzdem von 3 bis b integrieren?

Wenn du die Differenzenfunktion a(x) - f(x) von 3 bis b integrierst, erhältst du die Fläche zwischen f(x) und a(x) über [3,b]. Da die x-Achse ebenfalls Grenze sein soll, musst du das Dreieck über [3,4] abziehen → Ergebnis von Mathecoach.

> Wieso muss das dann bei der Differenzfunktion nicht berücksichtigt werden?

Wenn du dir beide Graphen und das Intervall [3,4] der x-Achse um eine genügend große Konstante nach oben verschoben denkst, bleibt die Differenzenfunktion a(x)+c - (f(x)+c) = a(x)-f(x) gleich und du hast keine Vorstellungsprobleme mehr.

Gruß Wolfgang