Wie kommt man auf die Gesamtfläche zwischen der x-Achse und dem Graphen?

Question

Aufgabe: ich verstehe nicht wie man bei der fläche a1& a2 auf die zahlen 1/0 resp. 2/1 kommt.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Da die Fläche symmetrisch zur y-Achse ist genügt es, nur die halbe Fläche (z.B. die rechts von der y-Achse) zu berechnen und das erhaltene Ergebnis am Ende zu verdoppeln.

Man berechnet also zunächst nur die Hälfte von A2 (geht von x=0 bis zur Nullstelle x=1)

und die Fläche A3 (geht von x=1 bis x=2).

Deine Notizen unter dem Text passen nicht zur Flächenbeschriftung in der Skizze.

Was du im Text als A1 bezeichnest, ist die Hälfte von A2 in deiner Skizze. Was du als A2 bezeichnest, ist in deiner Skizze A3.

Zur Berechnung von A3 darfst du übrigens nicht das Integral selbst verwenden (das ist negativ), du musst dort den Betrag des Integrals nehmen.

Comments

aber wie kommt man bei A1 auf 1 resp. 0 es fängt doch bei -2 an und geht bis zu -1?

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Lies meine ergänzte Antwort, deine Beschriftungen in Text und Skizze passen nicht zusammen.

Answer 2

Aloha :)

Wenn die Fläche unterhalb der x-Achse liegt, wird das Integral negativ. Du musst daher bei der Flächenbestimmung von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und von dem Integral immer den Betrag nehmen. Die Nullstellen des Integranden findest du hier schnell mittels der dritten binomischen Formel:$$0=x^4-5x^2+4=(x^2-4)(x^2-1)=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)$$Das liefert die Nullstellen \(-2;-1;1;+2\). Daher musst du das Integral über die Intervalle \([-2;-1]\),\([-1;1]\) und \([1;2]\) berechnen.

$$A_1=\left|\int\limits_{-2}^{-1}\left(x^4-5x^2+4\right)\,dx\right|=\left|\left[\frac{x^5}{5}-\frac{5}{3}x^3+4x\right]_{-2}^{-1}\right|=\left|\frac{-38}{15}-\frac{-16}{15}\right|=\frac{22}{15}$$$$A_2=\left|\int\limits_{-1}^{1}\left(x^4-5x^2+4\right)\,dx\right|=\left|\left[\frac{x^5}{5}-\frac{5}{3}x^3+4x\right]_{-1}^{1}\right|=\left|\frac{38}{15}-\frac{-38}{15}\right|=\frac{76}{15}$$$$A_3=\left|\int\limits_{1}^{2}\left(x^4-5x^2+4\right)\,dx\right|=\left|\left[\frac{x^5}{5}-\frac{5}{3}x^3+4x\right]_{1}^{2}\right|=\left|\frac{16}{15}-\frac{38}{15}\right|=\frac{22}{15}$$In Summe ist die Fläche \(\frac{120}{15}=8\) Flächeneinheiten groß.

Answer 3

Neben den anderen Hilfreichen antworten hier solltest du auch wissen, wie du ein Ergebnis schnell mit dem Taschenrechner als Kontrolle berechnen kannst.

x^4 - 5·x^2 + 4 = 0 --> x = -2 ∨ x = 2 ∨ x = -1 ∨ x = 1

∫ (-2 bis 2) |x^4 - 5·x^2 + 4| dx = 8