Warum gilt bei meiner Funktion [fn(x)]' = fn+1(x)?

Question

Hi, kann mir jemand sagen, warum für

fn(x) = ((-1)^{n-1})/(2^n) *( _i=1∏ ^n-1 (2i - 1)) * (1+x) ^((-2n-1)/2) folgendes gilt:

fn+1 (x) = (fn (x))' (das n steht für den Grad der Ableitung). Am besten mit Umformungschritten.

Danke jetzt schon mal.

Comments

EDIT: Wie ist der Exponent am Schluss genau zu verstehen / lesen?

EDIT: Exponent des nächsten Kommentars in die Frage übernommen.

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Verbesserung: fn(x) = ((-1)^n-1)/(2ⁿ) *( _i=1∏ ^n-1 (2i - 1)) * (1+x) ^((-2n-1)/2)

Answer 1

Irgendwas stimmt da nicht.

Ich bekomme bei dieser Definition raus

f1 = 1/2

f2 = -1/4 * (1+x) ^-3/2 

aber f2 ist doch nicht die Ableitung von f1 ????????

Answer 2

erst dachte ich:

§1 Produkt:

Prod_(k=1)^{n-1}(2 k-1) = 2^{n-1}*Gamma(n-1/2)/sqrt(Pi)

(-1)^{n-1}*(1+x)^{(-2n-1)/2}/2^n = -(-1/2)^n*(x+1)^{-n-1/2}

zusammen

f(n,x)=-(-1/2)^n*(x+1)^{-n-1/2}*2^{n-1}*Gamma(n-1/2)/sqrt(Pi) = -((-1)^n*(1+x)^{-1/2-n}*Gamma[-1/2+n])/(2*Sqrt[Pi])=(-1)^n*(1/2(2n-1))!*(x+1)^{-n-1/2}/(sqrt(Pi)(1-2n))

d/dx -((-1)^n*(1+x)^{-1/2-n}*Gamma[-1/2+n])/(2*Sqrt[Pi]) = -((-1)^n (-1/2 - n)(1+x)^{-3/2-n} Gamma[-1/2+n])/(2 Sqrt[Pi])

d/dx (-1)^n*(1/2(2n-1))!*(x+1)^{-n-1/2}/(sqrt(Pi)(1-2n)) = (-1)^n(-1/2 - n)(1 + x)^{-3/2-n}((-1 + 2 n)/2)!/((1-2n)Sqrt[Pi]) 

da nach x abgeleitet, ist n ein konst. Faktor:

d/dx (-1)^n*(n-1/2)!/(sqrt(Pi)(1-2n))    * (x+1)^{-n-1/2}

=(-1)^n(-n-1/2)(n-1/2)!/(sqrt(Pi)(1-2n)) * (x+1)^{-n-3/2}

andere Schreibweise:

d/dx (-1)^n*(n-1/2)!/(sqrt(Pi)(1-2n))    * (x+1)^{-(n+1/2)} 

=    (-1)^n(-n-1/2)(n-1/2)!/(sqrt(Pi)(1-2n)) * (x+1)^{-(n+1+1/2)}  mit (-1)^n(-n-1/2) = (-1)^{n+1}(n+1/2)

=    (-1)^{n+1}(n+1/2)(n-1/2)!/(sqrt(Pi)(1-2n)) * (x+1)^{-(n+1+1/2)}

Da das nicht mit Deiner Lösung übereinstimmte, überlegte ich, wie die Aufgabe wirklich lauten könnte:

(...das n steht für den Grad der Ableitung...)

was Du meintest, ist vermutlich was anderes: geg.:  f(x)=(x+1)^{-(n+1/2)}

1. Abl.:d/dx (x+1)^{-(n+1/2)}           =-1/2(2n+1)(x+1)^{-n-3/2} =  -1/2(2n+1)(x+1)^{-(n+1+1/2)}

2. Abl.:d/dx -1/2 (2 n+1) (x+1)^{-n-3/2}=+1/4(2n+1)(2n+3)(x+1)^{-n-5/2}=(-1)²/2²(2n+1)(2n+3)(x+1)^{-(n+2+1/2)}

...

n. Abl.:d^n/dx^n f(x) = d^n/dx^n (x+1)^{-(n+1/2)} = (-1)^n/2^n[(2n+1)*(2n+3)*...*(2n+(2n-1))]*(x+1)^{-(n+n+1/2)}

=(1+x)^{-1/2-2n}(-1/2-n)!/(-1/2-2n)!

=(1+x)^{-1/2-2n}Pochhammer(1/2-2n,n) wegen Pochhammer(1/2-2n,n)=(-1/2-n)!/(-1/2-2n)!