inneres Produkt von Abbildungen ja nein warum?

Question

Welche der Abbildungen \( \mathbb{R}^{2} \times \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) sind ein inneres Produkt (Skalarprodukt) auf \( \mathbb{R}^{2} \), welche nicht? Begrüdnung
(a) \( (\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto\langle\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle\rangle:=x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2} \)
(b) \( (\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto p(\mathbf{x}, \mathbf{y}):=x_{1} y_{1}+2 x_{2} y_{2} \)
(c) \( (\mathbf{x}, \mathbf{y}) \mapsto\langle\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle\rangle:=2 x_{1} y_{1}-3 x_{2} y_{2} \)

Answer 1

Naja, mußt Du halt die Axiome prüfen....

Grundsätzlich gehe ich davon aus, dass eine ∑ quadratisches nicht linear sein kann,

eine Differenz auch mal negativ sein kann, oder?

Also dann

\(\text{1. linear in jedem der beiden Argumente:}\\ \\ \lambda_x:{\displaystyle \langle \lambda x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle }\\ \\ \lambda_y:\langle x, \lambda y\rangle= \lambda\langle x,y\rangle\\ \\ a_{X+Z,Y}:\langle x+z,y\rangle=\langle x,y\rangle+\langle z,y\rangle\\ \\ a_{X,Y+Z}:\langle x,y+z\rangle=\langle x,y\rangle+\langle x,z\rangle\\ \\ \text{symmetrisch:}\\ \\ sym_{xy}:\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle\\ \\ \text{positiv definit:}\\ \\ pd_x:\langle x,x\rangle\geq0\\ \\ \langle x,x\rangle=0 \quad \text{genau dann, wenn x = 0}\)