Beweis mit dem inneren Produkt: A,B :=DtC1 +...+DtCn

Question

Seien A := [C1 , ..., C n] und B := [ D1 , ..., Dn ] zwei Matrizen geeigneter Dimension über 1n 1n

RmitdenSpalten Ci bzw. Di ,i:=1,...,n.Dann gilt für die Berechnen des inneren Produktes A,B :=Spur(BtA) die Gleichung A,B :=DtC1 +...+DtCn .Beweis! 

Muss ich das nur nachrechnen oder was soll ich bei der Aufgabe machen ?

Zebsche

EDIT: Präzision in Kommentaren zur Antwort. 

Answer 1

Also da stimmt was nicht. Wenn $$ A = \begin{pmatrix} C_1\\\dots\\C_n \end{pmatrix} $$ und $$ B = \begin{pmatrix} D_1\\\dots\\D_n \end{pmatrix}  $$ ist, dann gilt für das Produkt $$ (B^T A)_{i,j}  = D_i C_j $$
Schreib die Aufgabe doch mal richtig auf.

Comments

mit dem transponiert stimmt die aussage ja

ich nutze mit die Definition des Skalarproduktes aus dh ich transponiere A und Konjugiere B und erhalte somit eine 3*3 Matrix von welcher ich die Spur berechne

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Seien A := [C_1 , ..., C_n] und B := [ D_1 , ..., D_n ] zwei Matrizen geeigneter Dimension über R mit den Spalten Ci bzw. Di ,i:=1,...,n.Dann gilt für die Berechnen des inneren Produktes A,B :=Spur(B^t A) die Gleichung A,B :=D^tC1 +...+D^tCn .Beweis! 

 

Zebsche

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Also sind  \( A \) und \( B \) Matrizen der Dimension \( 1 \times n \) oder \( n \times  n \)?

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beide 1 kreuz n

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Da \( (B^T A)_{i,j} = D_i C_j   \) gilt, folgt \( \text{spur} ( B^T A ) = \sum_{i=1}^n (B^T A)_{ii} = \sum_{i=1}^n D_i C_i = <D,C>  \)

\( <D,C> \) ist das innere Produkt (Skalarprodukt) von \( C \) und \( D \)