Definition
Definition 9. Ist \( \mathcal{V} \) ein Vektorfeld, so wird dessen duale \( 1- \) Form \( \omega_{\mathcal{V}}^{1} \) durch die Gleichung
*w^1_v := V ⌋dR^n
Ist das Vektorfeld \( \mathcal{V}=\sum V^{i} \partial / \partial x^{i} \) in kartesischen Koordinaten gegeben, so erhalten wir die entsprechende Darstellung von \( \omega_{\mathcal{V}}^{1} \) wie folgt:
\( \begin{aligned} \omega_{\mathcal{V}}^{1} & =(-1)^{n-1} *\left(V^{1} d x^{2} \wedge \ldots \wedge d x^{n}-V^{2} d x^{1} \wedge d x^{3} \wedge \ldots \wedge d x^{n} \pm \ldots\right) \\ & =V^{1} d x^{1}+\ldots+V^{n} d x^{n} . \end{aligned} \)
Diesen Übergang von Vektorfeldern zu 1-Formen benutzen wir jetzt, um auf invariante Weise den Gradienten einer Funktion sowie die Divergenz und Rotation von Vektorfeldern einzuführen.
Leute, ich habe eine Frage zu dem rechtenwinkel. Wie genau ist dieser zu verstehen? Also zwischen V und dem dR^n. Wenn ich das richtig verstanden habe, geht es hierbei um das innere Produkt oder? Zu dem rechten Winkel finde ich aber nichts.
