2 Aufgaben, Stochastik Wahrscheinlichkeit

Question

An einem Fußballturnier nehmen 12 Mannschaften teil. Wie viele Endspielpaarungen sind theoretisch möglich und wie viele Halbfinalpaarungen sind theoretisch möglich?

(12 über 2)=66   (12 über 4)=495

Acht Schachspieler sollen zwei Mannschaften zu je vier Spielern bilden. WIe viele Möglichkeiten gibt es?

4! * 4!

Answer 1

An einem Fußballturnier nehmen 12 Mannschaften teil. Wie viele Endspielpaarungen sind theoretisch möglich und wie viele Halbfinalpaarungen sind theoretisch möglich?

Endspielparungen: COMB(12, 2) = 66

Halbfinalparungen: COMB(12, 2) * COMB(10, 2) / 2 = 1485

Acht Schachspieler sollen zwei Mannschaften zu je vier Spielern bilden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

COMB(8, 4) / 2 = 35

Comments

Danke,Im Halbfinale sind doch 4 Mannschaften

wieso geht 12 über 4 nicht?

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Mit (12 über 4) wählst du ja nur 4 Mannschaften aus.

Damit müsstest du auch noch Paarungen bilden

1234 sind also nur 4 Mannschaften

Wir könnten daraus folgende Paarungen bilden:

12 34

13 24

14 23

Du könntest also aus deinen 4 Mannschaften noch 3 Paarungen bilden. Also müsstest du es mal 3 nehmen.

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warum dividierst du bei den Schachmannschaften durch 2?

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Weil es egal ist ob die Personen die ich auswähle 1234 sind oder 5678. In beiden Fällen ergeben sich die gleichen zwei Gruppen.

Denke daran das die 4 nicht gewählten Personen ja die andere Mannschaft bilden.

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du hast natürlich mal wieder recht! Erlaube mir, es zu korrigieren.

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Kein Problem.

Was mir übrigens manchmal hilft ist das ganze radikal zu vereinfachen. Also 4 Schachspieler wollen 2 Gruppen bilden. Wie viele Möglichkeiten gibt es.

Da kann ich die Gruppen notfalls skizzieren die sich ergeben können und ich kann die Formel an diesem vereinfachten Beispiel testen.

Wenns dort funktioniert muss es zwar nicht bei 8 Spielern funktionieren aber wenns bei 4 Spielern schon nicht geht brauch ich das mit 8 dann auch nicht erst probieren :)

Und wie man an der ersten Aufgabe schön sehen kann gibt es meist viele verschiedene Ansätze dieses Problem zu lösen. Es hilft zwar wenn man die 4 Formeln der Kombinatorik im Hinterkopf hat, aber letztendlich ist es viel wichtiger das man sich das Problem tatsächlich vorstellen kann.

Das ist auch mit das größte Problem der Schüler. Die meisten können sich das nicht wirklich vorstellen. Und wie gesagt da hilft es sich das Problem etwas kleiner vorzustellen. Und erst drüber nachzudenken wie es im kleinen geht und das dann auf das große ganze zu erweitern.

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Mache ich auch, wenn ich mir nicht sicher bin. In diesem Fall hatte ich verwerflicherweise erst Zweifel, als ich dein Ergebnis gesehen habe :-)

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Vielen Dank für die Antowort.

Lieder kann ich nicht ganz ich das fettgedruckte nicht ganz anchvollziehen, wie man darauf kommt. Vielleicht kannst Du dazu etwas sagen:

Halbfinalparungen: COMB(12, 2) * COMB(10, 2) / 2 = 1485

COMB(8, 4) / 2 = 35

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Zunächst wähle ich mir 2 aus 12 Mannschaften für das erste Halbfilanspiel.

Dann wähle ich mir 2 aus den verbleibenden 10 Mannschaften für das zweite Halbfinalspiel.

Weil Es egal ist welche zwei Mannschaften das erste und welche das Zweite bestreiten teile ich noch durch 2.

Warum ich bei der Schachaufgabe durch 2 teile habe ich oben schon erklärt.

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Vielen Dank für die Antwort.

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Bei der Schachaufgabe muss glaube ich nur (8 über 4) sein oder? also insgesamt 70 mögliche Mannschaften. 35 wäre richtig wenn es gefragt  wäre wie viele Paarungen möglich sind

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Vereinfache das mal

4 Schachspieler sollen zwei Mannschaften zu je 2 Spielern bilden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

(4 über 2) oder (4 über 2)/2 ???

Du solltest hier die Möglichkeiten ja noch locker visualisieren.

Beachte auch oben die Nachfrage von Wolfgang

warum dividierst du bei den Schachmannschaften durch 2?

Answer 2

An einem Fußballturnier nehmen 12 Mannschaften teil. Wie viele Endspielpaarungen sind theoretisch möglich und wie viele Halbfinalpaarungen sind theoretisch möglich?

Enspiel:  \( \begin{pmatrix} 12 \\ 2 \end{pmatrix}\)  ist richtig

Halbfinale:  \( \begin{pmatrix} 12\\ 4 \end{pmatrix}\) • 4! / 2³

Acht Schachspieler sollen zwei Mannschaften zu je vier Spielern bilden. WIe viele Möglichkeiten gibt es?

Edit nach Rücksprache mit Mathecoach (vgl. Kommentare dort):

 \( \begin{pmatrix} 8\\ 4 \end{pmatrix}\) / 2  , wenn man die Aufstellungsreihenfolge nicht berücksichtigt

Gruß Wolfgang

Comments

Dankeschön, wieso teil man durch 2^3?

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Stell dir einen Plan vor, auf dem du die ausgewählten in irgendeiner der 4! Reihenfolgen hinschreibst.

1. und 2. ergibt   Spiel 1 ,  umgekehrt aber das gleiche Spiel  →   Anzahl :  2

3. und 4. ergibt   Spiel 4 ,  umgekehrt aber das gleiche Spiel  →   Anzahl :  2

Jetzt musst du noch einmal durch 2 teilen, weil beides ja gleichzeitig umgekehrt sein kann

insgesamt musst du also durch 2³ teilen.

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Frage zur Lösung der Schachspieler:

Bei der Antwort bei den Schachspielern leuchtet mir die Divison durch 2 nicht ein. Um ein Team zu bilden, rechne ich doch 8 über 4, was 70 ergibt. Das andere Team ergibt sich dann ja zwangsläufig aus den restlichen 4 Leuten. Das ist doch die klassische Lottoaufgabe. Also wieso soll 70 dann noch durch 2 geteilt werden?