Nutzen maximieren? (Beschränkung auf 24 st)

Question

Marie hat einen Arbeitsvertrag angeboten bekommen. Da der zukünftige Arbeitgeber sehr flexibel ist, darf Marie entscheiden wie viele Stunden pro Tag sie arbeiten möchte. Der Nutzen, den sie durch die Zeit x

(in Stunden) bei der Arbeit erhält ist gegeben durch die Funktion

A(x)=−175x3+225x2+185x−2165.Der Nutzen der Freizeit lässt sich durch die folgende Funktion bestimmen:F(y)=95yWie viele Stunden wird Marie pro Tag arbeiten, wenn sie ihren Nutzen maximieren will? Bedenken Sie dabei, dass Marie für Arbeit und Freizeit nur 24 Stunden pro Tag zur Verfügung hat.

Answer 1

Dieses sind jetzt die korrekten Funktionen und damit hoffentlich auch die korrekte Lösung:

x + y = 24 --> y = 24 - x

N(x) = A(x) - F(24 - x) = - 1/75·x³ + 2/25·x² + 18/5·x - 216/5 + 9/5·(24 - x)

N(x) = - x³/75 + 2/25·x² + 9/5·x

N'(x) = - x²/25 + 4/25·x + 9/5 = 0 --> x = 9 ∨ x = -5

Marie wird 9 Stunden pro Tag arbeiten.

Comments

Da das Ergebnis 1 Stunde Arbeit / Tag sicherlich praxisfern ist
möchte ich es als mathematisch korrekt bestätigen.

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Danke ich hab da noch so eine ähnliche frage hochgestellt könntest du da auch mal schauen ? ..

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Die Lösung ist leider falsch :/ marie arbeitet 9 stunden pro tag ,,,,

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Sind deine mitgeteilten Funktionen denn alle richtig?

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Dann sind die Formeln falsch.

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Oh ja der hatte wohl die brüche umgeschrieben ..

A(x)= - 1/75x^3 +2/25 x^2 +18/5x-216/5  und F(y) = 9/5y

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Ich hatte einen Denkfehler und auch noch den Fehler in F(y). Lösung steht weiter unten.

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N(x) = A(x) - F(24 - x) = - 1/75·x^3 + 2/25·x^2 + 18/5·x - 216/5 + 9/5·(24 - x)

N(x) = - x^3/75 + 2·x^2/25 + 9·x/5

N'(x) = - x^2/25 + 4·x/25 + 9/5 = 0 --> x = 9 ∨ x = -5

Marie wird 9 Stunden pro Tag arbeiten.

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Kannst du mir mal genau sagen was du da gemacht Schritt für Schritt :D

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Der Gesamtnutzen N(x) ergibt sich aus dem Nutzen der Arbeit und dem Nutzen der Freizeit. Wenn ich x Stunden Arbeite habe ich 24 - x Stunden Freizeit.

Der Gesamtnutzen ist nur noch von x Abhängig und kann damit abgeleitet und gleich null gesetzt werden um ein Maximum zu finden.

Es ergeben sich 2 Lösungen. Bei einer Funktion dritten gerades ist das eine ein Maximum und das andere ein Minimum. Anhand des globalen Funktionsverlaufes weiß man das bei x = 9 das Maximum liegen muss und bei -5 das Minimum.

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Wie kommt man auf x^3/75 da steht doch 1/75x^3

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Wie komme ich auf N ? 

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1/75 * x^3 = x^3/75 :)

Ableitung = 0 setzen

- x²/25 + 4·x/25 + 9/5 = 0

Kannst du das selber nach x auflösen?

Beachte das wir das auch schreiben können

-1/25·x^2 + 4/25·x + 9/5 = 0