Warum ist pi ein kubisches Polynom? und Interpolation

Question

hallo

erstmal eine kleine Einleitung zu der Aufgabe:

Es soll nun folgendes gezeigt werden:

wäre bei (a) vielleicht das Vorgehen, dass man die Klammern alle auflöst und versucht zu kürzen? Das Polynom scheint nämlich wirklich Grad 3 zu haben, also wegen dem Term (t_i-x)³.  Bei (b) habe ich keine Idee.

Vielen Dank für jede Antwort/ Rechenweg/ Hinweise/ Erklärung

Answer 1

Hi, bei (a) ist die höchste vorkommende Potenz von \( x \) die dritte, also ist das Polynom vom Grade 3
Bei (b) musst Du wohl die Momente \( m_i \) ausrechnen und dann die Werte \( t_i \) in das Polynom einsetzen. Z.B. 
$$ p_1(t_0) = \frac{(t_1 - t_0)^3 \cdot m_0}{6h} + \frac{(t_1 - t_0) \cdot y_0}{h} + -\frac{h}{6} (t_1 - t_0) \cdot m_0 $$ Wenn \( m_0 = 0 \) gilt folgt wegen \( t_1 - t_0 = h \) $$ p_1(t_0) = y_0 $$
Ich denke den Rest muss man ähnlich machen, ist aber wohl ein richtiger Rechnenaufwand.