Berechnung der Tangentengleichung

Question

Ich habe folgendes Problem:
Gegeben: Parabel p1 mit y=-0.5x²+5 und die Punkte P (-2/3) und Q (1/4.5) welche beide auf p1 liegen.
Gesucht sind nun die Tangenten zu P und Q.
Könnte mir jemand mit Rechenweg erklären wie man hier auf das Errgebniss kommt?

Answer 1

Tangente an den Graphen im Punkt P:

Du bildest fie ABleitungsfunktion der Parabel:

f(x)=-0.5x²+5

f '(x)= -x

Nun gibst du die x-Koordinate von P in die ABleitung ein, um die Steigung der Funktion in diesem Punkt herauszufinden:

f '(-2)= 2

Die STeigung der Parabel in P ist also 2. Das ist dann ja gleichzeitig auch deinen Tangentensteigung:

Wir haben also bis jetzt für die Tangente:

y= 2x+n

Darin setzen wir jetzt Punkt P ein, welchen die Tangenten ja auch enthält:

3= 2*-2+n         |+4

7=n

Damit haben wir die letzte Komponente der Tangentengleichung:

->also:

= 2x+7

Für Tangente in Q genauso vorgehen

 ~plot~ -0.5x^2+5 ;2x+7;[[ -5| 5 | -2 | 6 ]] ~plot~

Answer 2

f(x) = - 0.5·x^2 + 5

f'(x) = - x

Allgemeine Tangentengleichung an der Stelle a: t(x) = f'(a) * (x - a) + f(a)

Einsetzen und zusammenfassen:

t1(x) = f'(- 2) * (x - (- 2)) + f(- 2) = 2 * (x + 2) + 3 = 2·x + 7

t2(x) = f'(1) * (x - (1)) + f(1) = f'(1) * (x - (1)) + f(1) = -1 * (x - 1) + 4.5 = 5.5 - x