Bei beiden Reihen kann man das Wurzelkriterium verwenden.
Das besagt:
Eine Reihe
$$ \sum _ { i = i _ { 0 } } ^ { \infty } a _ { i } $$
ist genau dann konvergent, wenn
$$ \sqrt [ i ] { \left| a _ { i } \right| } < C $$
mit festem C < 1 für hinreichend viele i gilt.
1. Aufgabe
Beim ersten Beispiel teile ich dafür noch den Bruch in zwei Summanden auf und wende dann das Wurzelkriterium auf beide Reihen an.
$$ \left. \begin{array} { l } { a _ { i } = \frac { i ^ { 2 } \cdot \sin \left( i ^ { 2 } \right) } { 2 ^ { i } } } \\ { b _ { i } = \frac { 1 } { 2 ^ { i } } } \\ { \sqrt [ i ] { \left| b _ { i } \right| } = \sqrt { \frac { 1 } { 2 ^ { i } } } = \frac { 1 } { 2 } } \end{array} \right. $$
Die erste Reihe ist also konvergent, als C kann jede beliebige Zahl zwischen 1/2 und 1 gewählt werden.
Für den zweiten Summanden:
$$ \sqrt [ i ] { \left| a _ { i } \right| } = \sqrt { \left| \frac { i ^ { 2 } \cdot \sin \left( i ^ { 2 } \right) } { 2 ^ { i } } \right| } = \frac { \sqrt [ i ] { i ^ { 2 } } \cdot \sqrt { \left| \sin \left( i ^ { 2 } \right) \right| } } { 2 } $$
Den Betrag von \( \sin(i^2) \) kann man mit einer 1 nach oben abschätzen.
Für die i-te Wurzel aus i²:
$$ \lim _ { i \rightarrow \infty } \sqrt [ i ] { i ^ { 2 } } = \lim _ { i \rightarrow \infty } \left( i ^ { 2 } \right) ^ { \frac { 1 } { i } } = \lim _ { i \rightarrow \infty } e ^ { \frac { \ln ( i^2 ) } { i } } $$
Da die Basis konstant ist, reicht es aus hier den Grenzwert des Exponenten zu untersuchen - dafür verwende ich gleich die Regel von l'Hospital:
$$ \lim _ { i \rightarrow \infty } \frac { \ln \left( i ^ { 2 } \right) } { i } \sim \lim _ { i \rightarrow \infty } \frac { \frac { 2 i } { i ^ { 2 } } } { 1 } = \lim _ { i \rightarrow \infty } \frac { 2 } { i } = 0 $$
Also geht die i-te Wurzel aus i² gegen \( e^0 = 1 \).
Damit folgt insgesamt, dass die i-te Wurzel aus dem Reihenargument gegen 1/2 geht und wiederum mit jedem beliebigen C zwischen 1/2 und 1 nach oben abgeschätzt werden kann.
Die Reihe ist also konvergent.
2. Aufgabe
Bei der zweiten Aufgabe könnte man prinzipiell genauso vorgehen, ich will aber einen anderen Weg wählen:
Damit eine Reihe konvergiert, muss ihr Argument eine Nullfolge sein. Das ist in diesem Fall aber nicht gegeben:
$$ \lim _ { i \rightarrow \infty } \frac { i ^ { 3 i } + 3 i } { 3 ^ { i } + 4 ^ { i } } = \lim _ { i \rightarrow \infty } \frac { 4 ^ { i } \left( \left( \frac { i ^ { 3 } } { 4 } \right) ^ { i } + \frac { 3 i } { 4 ^ { i } } \right) } { 4 ^ { i } \left( \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { i } + 1 \right) } \\ = \lim _ { i \rightarrow \infty } \frac { \left( \frac { i ^ { 3 } } { 4 } \right) ^ { i } + \frac { 3 i } { 4 ^ { i } } } { \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { i } + 1 } $$
Jetzt muss man erstmal schauen, was da steht:
(3/4)i geht gegen 0, der Nenner geht also gegen 1.
3i/4i geht gegen 0, da ein exponentieller Term erheblich schneller wächst als ein linearer - das kann man noch durch einmal anwenden von l'Hospital zeigen, das spar ich mir jetzt.
i3/4 geht gegen Unendlich, ganz zu schweigen davon, wenn man das ganze nochmal hoch i nimmt.
Da steht also im Prinzip ein Ausdruck der Form
(∞+0)/(0+1) = ∞/1
Das ist aber kein unbestimmter Ausdruck (z.B. ∞/∞ oder ∞-∞) also geht der ganze Term gegen ∞.
Gefordert war aber, dass der Term eine Nullfolge ist. Also divergiert die Reihe.
