Ganzrationale Funktionen, f(x)= -0,5x^3 + 2x und h(x)= mx haben genau einen Punkt gemeinsam. m?

Question

gegeben ist f(x)= -0,5x^3 + 2x und h(x)= mx

h hat einen gemeinsamen punkt mit f im urpsrung

wie ist m zu bestimmen, damit f und h keine weitere gemeinsamen schnittpunkte haben?

Answer 1

Hi,

Sorge dafür, dass die Steigung m nur einmal vorkommt. Denn dann ist h(x) eine Tangente zu f(x):

f(x)=-0,5x^3+2x

f'(x)=-3/2*x^2+2

 

Die Ableitung gibt ja die Steigung an. Diese soll nun an der Stelle 0 m sein:

-3/2*0+2=m -> m=2

 

h(x)=2x ist also des Rätsels Lösung.

 

Probe:

f(x)=h(x)

-0,5x^3+2x=2x   |-2x

-0,5x^3=0

-> Einzige Lösung ist x=0.

 

Grüße

Comments

Eigentlich gefällt mir dieser Ansatz besser als meiner. Ungünstigerweise hast du aber nicht ganz bis zum ende gedacht. Schau dir mal meine Skizze an. Für Steigungen größer gleich 2 kann es keine weiteren Schnittpunkte geben.

Ich hatte zuerst es auch über die Ableitung und Steigung machen wollen. Aber ich weiß ja nicht ob der Fragesteller schon die Ableitungen gehabt hat. Deswegen habe ich das lieber nur über die Schnittpunkte direkt gemacht.

Answer 2

Schnittpunkte bestimmt man über ein Gleichsetzen der Funktionen

f(x) = g(x)
- 0.5x^3 + 2x = mx
0.5x^3 + mx - 2x = 0
x(0.5x^2 + m - 2) = 0

Wegen dem Nullprodukt ist die Gleichung für x = 0 immer erfüllt. Damit wir keine weitere Lösung haben darf die Klammer nie Null werden.

0.5x^2 + m - 2 = 0
0.5x^2 = 2 - m
x^2 = 4 - 2m
x = ± √(4 - 2m)

Das ist nicht Lösbar, wenn die Diskriminante < 0 ist.

4 - 2m < 0
2m > 4
m > 2

Für m = 0 ist allerdings auch die Lösung in der Klammer x = 0 daher kann man m = 2 auch noch wählen.

Für m ≥ 2 gibt es hier also keine weiteren Schnittpunkte. Ich zeichne das mal