Um eine Formel durch vollstandige Induktion beweisen zu können, muss eine Variable darin vorkommen, die Platzhalter für eine natürliche Zahl ist. Ich gehe mal davon aus, dass das die einzige Variable a sein soll. Ich benenne daher a = n.
Der Induktionsschluss soll dann beweisen: Unter der Voraussetzung, dass n·n = n2 gilt, ist zu folgern, dass (n+1)(n+1) = (n+1)2.
Laut Distributivgesetz für Summen gilt (n+1)(n+1) = n·n + n + n +1.
Laut einer Regel für die Addition gleicher Summanden gilt dann (n+1)(n+1) = n·n + 2n +1.
Laut Voraussetzung gilt dann (n+1)(n+1) = n2 + 2n +1.
Nach der ersten binomischen Formel gilt dann (n+1)(n+1) = (n+1)2.
Ganz genau genommen kann man n2 = n·n gar nicht beweisen, weil es sich hier um die Definition einer Schreibweise handelt. Das Gleiche gilt für a·a·a·a·...·a (n Faktoren) = an.
