Geradengleichung für Ausgleichgerade zur Wertetabelle

Question

Gegeben sei folgende Wertetabelle:

x 4,49     7,32      7,79    10,75     11,58      12,19     13,22          16,23

y 148,2    403,8   526,4   1038,2   1172,8   1355,2    2100,3        3283,6

(a) Zeigen Sie graphisch auf geeignetem Papier, dass es sich um allometrisches Wachstum handeln könntedas zeichnen kann ich aber wie begründet man sowas????? 

(b) Zeichnen Sie eine Ausgleichsgerade per Augenmaß ein, und bestimmen Sie die zugehörige Geradengleichung wie auch die entsprechende Funktionsgleichung. #(c) BestimmenSiegraphischdurchInterpolation,anwelcherStelle x mandenWert y = 1500 erwarten kann.
(

Answer 1

Hi,
allometrisches bedeutet die Ausgleichsfunktion hat die Form $$ y = a x^{b} $$ Durch logarithmieren auf beiden Seiten erhält man die Gleichung $$ \ln(y) = \ln(a) + b \ln(x)  $$
D.h. man kann die transformierten Daten durch eine Ausgleichsgerade der Form $$ \hat y = \hat a +\hat b \hat x $$ annähern wenn man \( \hat y = \ln(y) \), \( \hat a = \ln(a) \), \( \hat b = b \) und \( \hat x = \ln(x) \) setzt. Rücktransformation ergibt
$$  y = e^{\hat a} x^{\hat b} $$
Aus den Daten bekommt durch lineare Ausgleichsrechnung \( \hat a = 1.313 \) und \( \hat b = 2.398 \)
Der Wert \( y = 1500 \) wird angenommen wenn gilt $$ 1500 = e^{\hat a} x^{\hat b} $$ Daraus folgt
$$ x = e^{\frac{\ln(1500) - \hat a)}{\hat b}} = 12.212 $$

Grafisch sieht das so aus

 

Comments

Hallo ullim,

wenn ich in der Praxis eine Funktion ermitteln würde
würde ich den Wert  ( 13,22 | 2100,3 ) als Ausreißer einstufen
und nicht berücksichtigen. 

mfg Georg

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Hallo georgborn,

das hängt vom verwendeten Test ab. Ich habe 4 Tests ausprobiert und drei haben den Wert als Ausreißer gekennzeichnet und ein Test nicht. Ich habe einen 3-Sigma Test, verschiedene Grubbs Tests und einen Test der Interquartilabstände benutzt verwendet. 

Welchen Test hast Du angewendet?

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@ullim

Ich werde dich mit meiner Antwort wohl stark enttäuschen.

Reine optische Begutachtung.
So viel Arbeit wie du habe ich mir also nicht gemacht.

In der Aufgabenstellung heißt es nur
Zeigen Sie graphisch auf geeignetem Papier, dass es sich um
allometrisches Wachstum handeln könnte
und
das zeichnen kann ich, aber wie begründet man sowas

Wenn der Graph auf  doppelt logarithmiertem Papier
stark einer Geraden ähnelt dürfte dies als Begründung
dann wohl ausreichen.

mfg Georg

Nachfrage : was machst du beruflich ?
Ich habe einmal eine Lehre als Physiklaborant gemacht und bin
dann später selbstständiger Softwareentwickler geworden.

Du hast sicher auch etwas mit Labor zu tun ?

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Nee nee, ich bin Mathematiker und Projektleiter für grosse Soft- und Hardwareprojekte.

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Hättest du denn die Tricksereien bei VW mit gemacht ?

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Nee, ich bin doch nicht blöd und riskiere meinen Job oder eine Schadensersatzklage. Ich bin Freiberufler und muss für meinen Murx selber gerade stehen. Das könnte im Zweifelsfall teuer werden oder sogar Existenzbedrohend. In solchen Fällen muss man sofort die Reissleine ziehen und aussteigen, auch wenn's schwer fällt. Die Alternativen sind alle schlimmer.

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Ich war selbstständig und habe Baustatik-Programme entwickelt.
Mir wäre es nie eingefallen irgendwo im Programm zu tricksen.

Wenn einmal ein paar hundert Programme im Umlauf sind tritt
so ein Fehler todsicher auf.

Es können Sachschäden und sogar Personenschäden entstehen.

Mein Problem war unter anderem die Vorgaben der DIN-Kommisionen.
Baustatik ist eine mitnunter komplizierte Sache.
Was ist dort laufend von der Kommision geändert worden
Nachher hatte ich sogar den Eindruck : die wissen selbst nicht
mehr was sie beschlossen hatten.
Wenn man von der Kommission 3 Leute befragte bekam man
mitunter 3 verschiedene Antworten. Ohweh.

Answer 2

:x 4,49     7,32      7,79    10,75     11,58      12,19     13,22          16,23
y 148,2    403,8   526,4   1038,2   1172,8   1355,2    2100,3        3283,6

~plot~ {4.49 |148.2 } ;{7.32 |403.8 } ;{7.79 | 526.4} ;{10.75 |1038.2 } ;{11.58 |1172.8 } ;{12.19 |1355.2 } ;{13.22 | 2100.3} ; { 16.23| 3283.6}; [[ 0|17|120|3400]] ~plot~

Comments

Die Punkte sind auf einem doppelt logarithmierten Papier einzutragen,
Das habe ich aber leider nicht.
Dann wird der Graph zur Geraden.

Näheres findest du unter

https://de.wikipedia.org/wiki/Allometrie

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Das habe ich aber leider nicht.

Dann trage die Loga