Bestimmen von Erlösfunktionen

Question

Hallo

ME	20	40	60	80
Erlöse in GE	11992	23968	35928	47872

BEstimmen Sie die Erlösfunktion.

Bitte um Hilfe

Danke

Comments

Vorgehensweise ( sicherheitshalber )

Punkte aufzeichnen

~plot~ {20 | 11992 }; {40 | 23968 }; {60 | 35928}; {80 | 47872} ; [[ 0 | 90 | 10000 | 50000 ]] ~plot~

Die Funktion erscheint reichlich linear.

Alle 4 Punkte zur Berechnung einer Polynomfunktion 3.Grades zu verwenden
erscheint angemessen.

Answer 1

E(20) = 11992

E(40) = 23968

E(60) = 35928

E(80) = 47872

Daraus bekomme ich die Gleichungen

8000a + 400b + 20c + d = 11992

64000a + 1600b + 40c + d = 23968

216000a + 3600b + 60c + d = 35928

512000a + 6400b + 80c + d = 47872

Und daraus die Lösung

E(x) = -0,02·x^2 + 600·x

Comments

Der Ansatz mit diesen Gleichungen erweist sich zwar im Nachhinein als brauchbar, erscheint mir aber wegen E(0) = 0 (→ 5 Bedingungen) erst einmal ein wenig optimistisch. 

(vgl. meine Antwort)

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Ja. Da hast du recht. E(0) = 0 sollte mit als Bedingung fungieren. Man kann darauf allerdings getrost verzichten wie man hier sieht.

Man sollte sich aber nach Modellierung Gedanken machen ob die Funktion sinnvoll erscheint.

Answer 2

Zumindest auf einem nicht subventionierten freien Markt ist E(0) = 0. Ansonsten kann man natürlich darüber streiten, ob eine Subvention dafür, das man nichts verkauft, ein Erlös ist.

Der einfachste Ansatz ist dann E(x) = ax⁴ + bx³ + cx² + dx

Das ergibt das LGS

160000·a + 8000·b + 400·c + 20·d = 11992

2560000·a + 64000·b + 1600·c + 40·d = 23968

12960000·a + 216000·b + 3600·c + 60·d = 35928

 40960000·a + 512000·b + 6400·c + 80·d = 47872

→  a = 0  ∧  b = 0  ∧  c = - 1/50  ∧  d = 600

→  E(x) = - 0,02 x² + 600x

[ Dass sich mit dem Ansatz mit Polynomgrad 3 - im Voraus wohl nur schwer erkennbar - die gleiche Lösung ergibt,  liegt wohl einfach daran, dass man die vier Vorgaben für die Aufgabenstellung aus einer quadratischen Erlösfunktion errechnet hat, weil man üblicherweise von einer linearen Preiabsatzfunktion ausgeht.

Wenn man Letzteres voraussetzt, kann man auch gleich mit dem Ansatz 

 E(x) = p(x) • x = ax² + bx arbeiten und benötigt nur zwei der 4 Bedingungen.

Eigentlich ist die Aufgabe damit überbestimmt (5 Bedingungen für 4 Unbekannte bzw. 4 Bedingungen für 2 Unbekannte) ]

Gruß Wolfgang