Beweis der inversen Dreiecksungleichung: ||x|-|y|| ≤ |x-y|

Question

wie beweise ich ||x|-|y|| ≤  |x-y| ?

Comments

Ich vermute mal, dass dir https://www.mathelounge.de/284428/ungleichung-z1-z2-≤-z1-z2-mit-dreiecksungleichung-beweisen

und dortige Links schon weiterhelfen.

Richtig?

Answer 1

|x| = | x - y  + y | ≤ | x-y| + | y|   wäre schon mal ein guter Anfang.

Answer 2

Hallo Mia,

im Folgenden wird  |a|² = a²  ohne Erwähnung benutzt

| |x| - |y| |  ≤ | x - y |    |²

⇔  ( |x| - |y| )² ≤ ( x - y)²   | 2. binomische Formel anwenden:

⇔ |x|² - 2 |x| |y| + |y|² ≤ x² - 2 xy + y²

^⇔   - 2 |x| |y| ≤  - 2 xy   | : (-2)  [ negativ,  ≤ → ≥ ]

⇔  |x| • |y| ≥ xy             |  es gilt  |a| • |b|  ≥ a • b : 

⇔ | xy|  ≥  xy   , was offensichtlich für alle x,y ∈ ℝ wahr ist

Gruß Wolfgang