Untergruppe genau dann wenn Äquivalenzrelation ist

Question

könnt ihr mir beid dieser Aufgabe helfen ?

Sei G eine Gruppe und U ⊆ G eine Teilmenge.

Wir definieren eine Relation ∼ auf G durch a ∼ b ⇔ ab^-1 ∈ U.

 Zeigen Sie, dass U eine Untergruppe bildet, wenn ∼ eine Äquivalenzrelation ist.

Answer 1

U Untergruppe  ⇒   neutrales Element e in U

              ⇒    für jedes g aus  G gilt  g*g^-1 = e aus U

                      also für alle g aus G   g ~ g    also Rel. reflexiv.

Sei nun  g ~ h  also  g*h^-1 aus U 

dann auch das Inverse davon aus U und

  ( g*h^-1 ) ^-1   =  h * g^-1  also auch h ~ g Rel. symm.

transitiv:

sei    g ~ h  und  h ~ k  also

gh^-1 aus U     und   hk^-1 aus U dann auch deren Produkt

( gh^-1) * (   hk^-1 )  assoziativ!

=   g( h^-1 *    h) k^-1     =   g*e* k^-1 =     g k^-1

Also  g ~ k  Rel. transit.

Umgekehrt:   ~ ist Äquiv.rel.

Dann gilt für jedes g aus G  (und es gibt mindestesn eines, da G nicht leer.)

  g ~ g also   g*g^-1 = e aus U  ( 1. Kriterium für Untergruppen)

2. Krit: für alle u aus U und v aus U gilt  u*v^-1 aus U.

Für das neutrale El. e von G gilt  e^-1 = e also auch    u*e^-1 = u aus U

also u ~ e .   Analog  mit  v*e^-1  aus U erhält man    v ~ e

wegen Symmetrie also auch   e ~ v und aus

u ~ e   und     e ~ v  wegen Transitivität  u ~ v also  u*v^-1 aus U.

 

Comments

Du rettest mich! Vielen lieben Dank, vor allem für die Ausführlichkeit!