Äquivalenzrelation bei Relation auf Z zeigen

Question

ich soll zeigen, dass die folgende Relation auf Z eine Äquivalenzrelation ist:

$$x\sim y\quad :\Leftrightarrow \quad 5|(x+4y)$$

Ich weiß, dass ich dafür zeigen muss, dass die Relation reflexiv, symmetrisch u. transitiv ist, aber ich weiß nicht, wo ich anfangen soll.

Bei Reflexivität zeig ich ja, dass $$x \sim x $$ gilt, also das$$x\sim x\quad :\Leftrightarrow \quad 5|(x+4x) $$gilt?

Und reicht es dann das ich sage, dass 5 auf jeden fall 5x teilt, da ja 1x überbleibt nach der Teilung?

Blicke nicht ganz durch, Hilfe wäre echt cool :)

Comments

@Reflexivität: Ja kannst du.

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Ok, cool, danke. Dann hab ich die Reflexivität schonmal gezeigt!

Kannst du mir bei Symmetrie noch einen Denkanstoß geben? Ich soll ja zeigen, dass

$$x\sim y\quad :\Leftrightarrow \quad 5|(x+4y$$ => $$y\sim x\quad :\Leftrightarrow \quad 5|(y+4x)$$

Wie mache ich denn da den ersten Schritt für den Beweis? Ich kann es ja nicht mehr weiter vereinfachen :S

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$$ y+4x = 5(y+x)-(4y+x) $$

Answer 1

5 | (x+4y)    und  5|  5*(x+y)  also teilt 5 auch die Differenz

⇒  5 |  (  (  5*(x+y)    -        (x+4y)  )  

⇒  5 |  ( y + 4x)  )    und Transitivität

5 | (x+4y)   und 5 | (y+4z)  also teilt 5 auch die Summe

5 | (x+5y+4z)   aber  5|5y also auch die Differenz

5 | (x+4z)