Aufgabe zu Jordanform, X finden sodass gilt X^2=A

Question

Den Aufgabenteil a) habe ich gelöst, jetzt hänge ich bei b) fest. Mir ist das Prinzip der Aufgabe denke ich klar, man findet ein Y für das Y^2=J gilt, und benutzt dann Definitionen um ein X mit X^2=A zu finden. Meine Fragen sind 1.) wie finde ich dieses Y durch die Gleichung YJ=JY? Und 2.) wie schließe ich aus Y^2=J zu X^2=A?

Answer 1

A hat char Polynom (x-4)^2 . Eigenraum zu 4 ist eindimensional, also J =

4      1
0      4

und   Y * J = J * Y gibt für Y =

a    b
c    d

4a^2 = 4a+c und
a+4b = 4b+d und
c+4d = 4d

mit beliebigem b un d  hast du also Y =

d       b
0       d

Comments

okay, vielen dank! ich habe dann Y^2 berechnet, das  ergibt ((d^2, 2bd),(0, d^2))
Dann habe ich Y^2=J gesetzt, und es kam für Y raus: ((2, 1/4),(0, 2))

Allgemein gilt ja A=T*J*T^-1, also A=T*Y^2*T^-1, wobei die Multiplikation auf der linken Seite =X^2 ist, weil ja auch gelten soll A=X^2. Für X^2 kommt dann raus T'*y^2*T^-1=X^2=((1,75,1/4),(-1/4, 2,25))

Dann habe ich X=(a,b),(c,d) gesetzt und versucht mit ((a,b),(c,d))^2 = X^2 die Lösung zu berechnen, es kommen aber sehr merkwürdige Zahlen raus. Habe ich irgendwo einen Denkfehler oder ist es richtig so?

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Da bin ich jetzt auch was verwirrt, muss aber jetzt erst mal weg bis morgen.