Welchen Rest bei Division durch 12 lässt 35^55 und 20^20

Question

Bitte mit Erklärung beantworten :) Danke

Answer 1

35 ≡ -1 mod (12 )

also 35⁵⁵  ≡ (-1) ⁵⁵ mod (12 )

und (-1) ⁵⁵ = -1  also ist der Rest 11.

Answer 2

35^55

= 11^55

= 11 * 11^54

= 11 * 121^27

= 11 * 1^27

= 11

----------

20^20

= 8^20

= 64^10

= 4^10

= 16^5

= 4^5

= 4 * 4^4

= 4 * 16^2

= 4 * 4^2

= 4 * 16

= 4 * 4

= 16

= 4

Comments

Bei dem ersten nicht 11 statt 1 ?  zu schnell getippt ?

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Genau. Vielen dank für die Korrektur.

Answer 3

Die Antwort von Mathef ist wesentlich eleganter, als die Antwort von Mathecoach. Auch für die zweite Aufgabe geht es ähnlich, allerdings nicht ganz so elegant.

20 ≡ 8 mod 12

20² ≡ 8² ≡ 4 mod 12

20⁴ ≡ 4² ≡ 4 mod 12

20²⁰ ≡ 4⁵ ≡ 4 mod 12