Untersuchen Sie, welchen Rest diese Zahl bei der Division durch 13 lässt.

Question

Aufgabe:

Die Zahl 2018²⁰¹⁸ ist im Dezimalsystem eine 6670-stellige Zahl.
Untersuchen Sie, welchen Rest diese Zahl bei der Division durch 13 lässt.

Problem/Ansatz:

Ich weiß überhaupt nicht, wie man bei so einer Aufgabe vorangeht und schreibt morgen die Matheprüfung :(

Answer 1

wenn du 2018 durch 13 teilst, bleibt der Rest 3.

Es gilt also

2018 ≡ 3 mod 13.

Daraus folgt

2018^2 ≡ 3^2 ≡9 ≡ -4 mod 13.

Daraus folgt
2018^3 ≡ (-4)·3 ≡-12 ≡ 1 mod 13.

Damit gilt auch

2018^6 ≡ 2018^3 ·2018^3 ≡1 ·1 ≡ 1 mod 13

2018^9 ≡ 2018^6 ·2018^3 ≡1 ·1 ≡ 1 mod 13

2018^12 ≡ 2018^9 ·2018^3 ≡1 ·1 ≡ 1 mod 13

usw.

Alle Potenzen von 2018, deren Exponent durch 3 teilbar ist, sind kongruent zu 1 mod 13.

Das gilt natürlich auch für

2018^2016 ≡ 2018^2013 ·2018^3 ≡1 ·1 ≡ 1 mod 13.

Kannst du mit

2018^2016 ≡ 1 mod 13 und

2018^2 ≡ -4 mod 13

etwas anfangen?

Answer 2

Hallo

erst mal den Rest von 2018

dann sehen wann der hoch n=1 ist, dann  die Hochsah durch das n teilen

und dann hast du es schon. denn mod 13 kann man ja  immer mit dem kleinsten Represetanten rechnen

Gruß lul

Answer 3

Nach dem kleinen Satz von

Fermat gilt: 2018¹² ≡ 1 mod 13.

Dann ist 2018^12·168 ≡ 1¹⁶⁸ mod 13.

Folglich 2018²⁰¹⁶ ≡ 1 mod 13.

Und dann 2018²⁰¹⁶ ·2018² ≡ 1·2018² mod 13.

Folglich 2018²⁰¹⁸ ≡ 2018² mod 13

Ab hier schaffst du es allein.

Comments

Nach dem "kleinen Satz" von Fermat ist für \(x \not \equiv 0\) mod \(13\):

\(x^m\equiv x^n\) mod \(13\iff m\equiv n\) mod \(12\).

Die Exponenten sind also nur mod 12 "interessant".