Welchen Rest lässt die Zahl 13hoch13 bei Division durch 11 und 14

Question

Aufgabe:

Welchen Rest lässt die Zahl 13¹³ bei Division durch

a) 11

b) 14

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz für a wäre jetzt:

13¹³ : 11

13 Ξ 2 mod 11

Nun weiß ich aber nicht weiter da die "hoch Zahl" ja ungerade ist und ich mit quadrieren nicht weiter kommen...

Kann mir vielleicht jemand helfen? Vielen

Liebe Grüße

Comments

2^5=32 ≡ -1 mod 11

:-)

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Danke, aber leider verstehe ich den Zusammenhang nicht wirklich?

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In der Antwort unten steht (2^5)^2.

Das entspricht modulo 11 → (-1)²=1.

D.h. 2^3=8 bleibt übrig.

Du kannst auch 2^10=1024=93*11+1 betrachten. Dann bleibt bei Division durch 11 auch der Rest 1.

:-)

Answer 1

$$ 13^{13} \equiv 2^{13} = 2^{5\cdot 2+3} = \cdot \left(2^5\right)^2 \cdot 2^3 \equiv \dots \mod 11 $$

Comments

Ich bin mir nicht sich ob meine Überlegung nun stimmt.

(2⁵ )²  *  2³ = 1024 * 8 = 8192

8192 / 11 = 744,72, also Rest 72?

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Rest 72 ist ein bisschen viel...

Überlege doch mal, was \(2^{5} \mod 11 \) ergibt und vereinfache den Term entsprechend.

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Der Rest ist 10, denn 32 = (2 x 11) + 10

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8192 =11*744 + 8

oder

0,727272...=72/99=8/11

Egal wie es (ohne Fehler) gerechnet wird:

--> Rest 8

Answer 2

Bei Division durch 14:

13^{13} mod 14

Betrachte 13*13=169=168+1=12*14+1.

D.h. 13^{2n}≡1 mod 14

13^13=13^{12}*13≡1*13=13 mod 14

:-)

Oder:

13≡(-1) mod 14

13^{13}≡(-1)^{13}=(-1)^{12}*(-1)=(-1)≡13 mod 14

:-)

Comments

Ich muss sagen, dass es sehr schwer für mich ist das alles nachzuvollziehen

Und der Rest ist 1?

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Nein, der Rest ist 13.

Rest 1 nur bei geraden Exponenten.

:-)

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Ah ok, dann habe ich es jetzt etwas besser verstand zumindest für diese beiden Aufgaben. Ob ich bei anderen, dass so hinbekomme ist fragwürdig :(

Aber trotzdem vielen lieben Dank!

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Gerne.

Guck dir die Umformungen noch einmal genau an. Wenn du noch Fragen hast, melde dich ruhig noch einmal.

:-)

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Das geht viel einfacher, wenn man nicht derartig kompliziert anfängt!

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@0815

Ich habe meine Antwort ergänzt. Allerdings weiß ich nicht, ob der zweite Weg für die Fragestellerin verständlicher ist.