Den Zeitpunkt berechnen , an dem Bakterien am schnellsten gewachsen sind

Question

(N(t)= anzahl von bakterien pro Milliliter Nährlösung zur Zeit t) wird durch die Funktion n mit dieser Gleichung beschrieben N(t)= 320: ( 5+59e^{-0,8t} )

N'(t)= 15104e^-0,8t : (5+59e^-0,8t)^2.... Nun soll ich die Wachstumsrate zu beginn des Experiments ausrechnen..da hab ich 3,69 raus bekommen.

Wie kann ich den Zeitpunkt ausrechnen an dem die Bakterien Kultur am schnellsten gewachsen ist?

danke

Answer 1

N(t) = 320 / (5 + 59·e^{- 0.8·t})

N'(t) = 15104·e^{-0.8·t} / (5 + 59·e^{- 0.8·t})^2

N''(t) = 60416·e^{0.8·t}·(59 - 5·e^{0.8·t})/(5·(5·e^{0.8·t} + 59)^3)

N'(0) = 59/16 = 3.6875

Schnellstes Wachstum heißt die Wachstumsfunktion muss extremal sein. Was bedeutet die Ableitung muss 0 sein.

N''(t) = 0

t = 5·LN(59/5)/4 = t = 3.085124414

Skizze

Comments

Die Funktion:

N(t) = 320 / (5 + 59·e^{- 0.8·t})

N'(t) = 15104·e^{-0.8·t} / (5 + 59·e^{- 0.8·t})^2

Wie ermittel ich lim N(t) und lim N'(t) ?

lim t → ∞

Setz mal mit dem Taschenrechner immer größer werdende Zahlen für t ein

t = 10, 100, 1000, 10000, 100000, ....

Fällt dir etwas auf ?

Das kannst du auch an der Funktion begründen. Ich setze jetzt dort mal ∞ ein obwohl man das so nicht macht. Ich hoffe nur es macht dir das deutlich.

N(t) = 320 / (5 + 59·e^{- 0.8·∞})
N(t) = 320 / (5 + 59·e^{-∞})
N(t) = 320 / (5 + 59·0)
N(t) = 320 / (5 + 0)
N(t) = 320 / 5
N(t) = 64

Das kann man oben am Graphen auch schon fast erkennen.