Münzspiel, wie hoch muss X sein damit das Spiel fair ist?

Question

die Frage ist eine Unteraufgabe und bezieht sich auf die Frage https://www.mathelounge.de/359532/zufallsexperiment-maximal-munze-werfen-ersten-wappen-fallt

(a)   Bei dem Spiel erhält Spieler A von Spieler B 2 €, wenn keinmal Zahl auftritt und Spieler A erhält von Spieler B 3 €, wenn genau einmal Zahl auftritt. Ansonsten erhält Spieler B von Spieler A den Betrag x.

 

Wie groß muss x sein, damit das Spiel fair ist? Berechne für dieses x die Standardabweichung des Gewinns von Spieler A

Dort hab ich, dank Lu, bereits ausgerechnet das es folgende Wahrscheinlichkeiten gibt

P[W1] = 1/2

P[W2] = 1/4

P[W3] = 1/8

P[W4] = 1/16

P[W5] = 1/16

Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:

Fall 1: Es ist beim ersten mal Wappen, Spieler A erhält 2€ -> P[W1] = 1/2
Fall 2: Es ist beim ersten mal Zahl, dann Wappen, Spieler A erhält 3€ -> P[W2] = 1/4
Fall 3: sonst, spieler B erhält X Euro. -> P[W3] + P[W4] + P[W5] = 1/8 + 1/16 + 1/16 -> 1/4

Und dann hab ich einfach folgende Gleichung aufgestellt

1/2 * 2 + 1/4 * 3 = 1/4 * x

1,75 = 1/4 * x | * 4/1

7 = x

Also muss das X =  7 sein. Stimmt das soweit?

Ich gehe jetzt mal davon aus das X = 7 richtig ist und soll ja dann noch die Standardabweichung berechnen.

Dazu benötige ich ja zuerst den Erwartungswert:

E[X = x] = 2 * 1/2 + 3 * 1/4 + 1/4 + 7 = 3,5 (stimmt das?)

Daraus kann ich ja dann die Varianz errechnen

Var[X] = (2 - 3,5)² * 1/2 + (3 - 3,5)² * 1/4 + (7 - 3,5)² * 1/4 = 4,25

Jetzt verstehe ich nicht was gemeint ist mit "Berechne für dieses x die Standardabweichung des Gewinns von Spieler A"

Ich kann ja jetzt die Standardabweichung berechnen in dem ich einfach die Wurzel von der Varianz nehme.

Wäre also: Standardabweichung Wurzel(4,25) = 2,0615528 .. aber das ist ja glaub nicht gemeint oder?

Vielen lieben Dank :)

Comments

Und dann hab ich einfach folgende Gleichung aufgestellt

1/2 * 2 + 1/4 * 3 = 1/4 * x 

1,75 = 1/4 * x | * 4/1

7 = x

Also muss das X =  7 sein. Stimmt das soweit?

Ich gehe jetzt mal davon aus das X = 7 richtig ist und soll ja dann noch die Standardabweichung berechnen.

Dazu benötige ich ja zuerst den Erwartungswert:

E[X = x] = 2 * 1/2 + 3 * 1/4 - 1/4 * 7 = sollte bei einem fairen Spiel 0 sein. Daher stimmt deine 7 nur musst du ein Vorzeichen mitschleppen. 

So ändert sich dann natürlich auch die Varianz. 

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Woher kommt denn das Minus :o?

 Achso, ich verstehe. Direkt mal aufgeschrieben. Aber dann einfach mit dem Erwartungswert jetzt neu berechnet in meine Varianz und Standardabweichung einsetzen?

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Ja. Würde ich so machen, wenn ihr da nichts anderes definiert habt. 

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Bei der Varianz komm ich dann auf 16,5 und als Standardabweichung auf 4,06 i-was. Das klingt doch ganz gut.

Warum muss ich da jetzt genau ein Minus hinsetzen? Damit ich auf die E[x] = 0 komme?

Noch mals vielen vielen Dank!

Answer 1

" Bei der Varianz komm ich dann auf 16,5 und als Standardabweichung auf 4,06 i-was. Das klingt doch ganz gut." Scheint mir auch nicht schlecht.  

" Warum muss ich da jetzt genau ein Minus hinsetzen? Damit ich auf die E[x] = 0 komme? " 

Ja. Du musst das von EINEM der beiden Spieler aus betrachten. Er bekommt 2 oder 3 Euro , oder er verliert 7 Euro.

Wenn du vom andern Spieler aus schaust, ist der Erwartungswert auch 0. 

Es steht explizit "Standardabweichung des Gewinns von Spieler A  ". 

Comments

Danke.

Wäre aus Sicht von Spieler B nicht die Varianz und Standardabweichung genau so groß?

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Ja auch aus der Sicht von Spieler B sind Varianz und Standardabweichung gleich. 

Gewinn oder Verlust (Vorzeichen) sind aber immer davon abhängig, welcher Spieler nun erzählt. 

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Also wäre es bei b: -1/2 * 2 - 1/4 * 3 + 1/4 * 7 = 0 ?

ich habe es glaub ich verstanden.

Wenn nur stehen würde man soll die Standardabweichung berechnen müsste ich überall "+" schreiben, oder?

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Standardabweichung muss immer von einem Wert sein. Dieser Wert hat in der Regel ein Vorzeichen. 

Bei der mittleren Abweichung vom Erwartungswert  oder bei der mittleren quadratischen Abweichung werden die Vorzeichen bewusst weggelassen / entfernt (man quadriert / nimmt Beträge).