mengenfunktion: einnahme von 5mg täglich. täglicher abbau von 30%.

Question

in der Schule lernen wir gerade Wachstumsfunktionen und unser Lehrer hat uns letzt Woche die folgende Aufgabe zum überlegen mitgegeben:

Ein Patient erhält täglich 5mg von einem Medikament. Jeden Tag wird 30% des Medikaments im Körper abgebaut. Was ist die Menge des Medikaments im Körper nach x Tagen?

Ich wüsste wie ich die Funktion aufstellen müsste wenn es nur eine einzige Einnahme von 5mg wären, da es aber täglich erneut eingenommen wird weiß ich nicht so genau wo ich anfangen muss/was ich in der Funktion ändern muss.

Für jede Hilfe/jeden Tip wäre ich dankbar!

Answer 1

man kann ja erstmal die ersten Tage per Hand ausrechnen, und schauen was passiert:

Am Ende des ersten Tages hat der Patient 5mg*0.7 intus.

Am zweiten Tag werden erst 5mg dazu addiert, und dann wird wieder mit 0.7 multipliziert:

(5mg*0.7+5mg)*0.7=5mg*(0.7^2+0.7)

Führt man dieses Schema fort, erhält man für das Ende des x-ten Tag: m(x)=5mg*∑_k=1^x 0.7^k

x€ |N 

Für x gegen Unendlich erhält man dann eine Masse von (11+2/3)mg

Answer 2

Der Gast jc2144 fängt gut an. Die Summe von k = 1 bis x von 0,7^k ist eine geometrische Reihe und lässt sich daher umformen (Summenformel für geometrische Reihen). Die Medikamentenmenge M(n) im Körger des Patienten nach n Tagen lässt sich dann berechnen als M(n) = 0,5(1-0,7ⁿ⁺¹)/(1-0,7) = 5/3(1-0,7ⁿ⁺¹). Die Klammer geht für n gegen Unendlich gegen 1. Die Menge M(n) steigt also nicht über 5/3 mg.

Comments

Hi,

Beachte, das die Formel für die geometrische Reihe nur gilt, wenn k bei 0 startend.

Die Menge M steigt auf jedenfalls über 5mg, siehe 2.ter Tag: ((5mg*0.3)+5mg)*0.3=5.95mg

Weiterhin sollte dann auch M(n) monoton wachsen, da die geometrische Reihe monoton wächst.

Als Auswertung der geometrischen Reihe habe ich 7/3 (für n-->∞)

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Hab mich in der 4.ten Zeile verschrieben:

((5mg*0.7)+5mg)*0.7=5.95mg

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Es kommt darauf an, ob die Menge des Medikaments im Körper des Patienten kurz vor oder kurz nach der erneuten Einnahme betrachte wird.

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Stimmt , wenn man es so definiert passt es .

Das hab ich nicht gleich erkannt.

Answer 3

Da es eine Schulaufgabe ist gehe ich von beschränktem Wachstum aus. Es würde daher gelten:
DGL: f^' (t)=5-0,3*f(t)  -> f^' (t)=0,3 *(5/0,3 - f(t))  also S=16,67

Die Lösung der DGL wäre dann: f(t)=16,67-16,67*e^-0,3t

Da die Schranke 16,67 ist wird diese Menge nicht überschritten.