Möglichst großes Volumen für eine oben offene Schachtel?

Question

Aufgabe: Aus einem rechteckigen Stück Pappe mit den Seitenlängen 20 cm und 12,5 cm soll man eine oben offene Schachtel herstellen, indem man an jeder Ecke ein Quadrat ausschneidet und die entstehenden Seitenflächen nach oben biegt. Der Kasten soll möglichst großes Volumen haben.

Ich weiß absolut nicht, wie ich die Aufgabe lösen soll. Könnte mir jemand detailliert zeigen, wie die Aufgabe zu lösen ist?

Comments

Könnte mir jemand die Aufgabe nachvollziehbar und detailliert lösen?

---

Wenn du deine Fragen gut formulierst, erscheinen in der Rubrik "ähnliche Fragen" manchmal wirklich ganz ähnliche Fragen mit ausführlichen Lösungswegen. Hier z.B.

https://www.mathelounge.de/3207/maximales-volumen-ermitteln-eine-nach-oben-offene-schachtel 

So brauchst du allenfalls nicht zu warten, bis jemand die Aufgabe genau für deine Zahlen vorrechnet.

Answer 1

> Aus einem rechteckigen Stück Pappe ... an jeder Ecke ein Quadrat ausschneidet ...

Mach das. Bezeichne die Seitenlänge des Quadrates mit x.

> ... und die entstehenden Seitenflächen nach oben biegt.

Mach das auch. Stelle dann einen Term für das Volumen auf.

Den Term kannst du als Funktionsterm einer Funktion auffassen. Berechne den Hochpunkt dieser Funktion.

Answer 2

Rechteck mit den Seitenlängen a und b. Wir schneiden an jeder Ecke ein Quadrat mit der Seitenlänge x aus und Klappen die Seiten zu einer Schachtel nach oben. Nun stellen wir ein Term für das Volumen auf.

V = (a - 2x) * (b - 2x) * x = - 2·a·x^2 + a·b·x + 4·x^3 - 2·b·x^2

Wenn das Volumen maximal werden soll, muss die Ableitung Null sein.

V' = 12·x^2 - 4·x·(a + b) + a·b = 0 --> x = (a + b - √(a^2 - a·b + b^2)) / 6

Mal deine Seitenlängen einsetzen

x = (20 + 12.5 - √(20^2 - 20·12.5 + 12.5^2)) / 6 = 2.5 cm